mathématiques (PCSI) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Le nombre d'or, par une suite qui oscille

Nombres réels et suites numériques · F. Suites particulières · niveau 2

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $[0, + \infty [$ par $f (x) = \frac{1}{1 + x}$ , et $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .

a) Montrer que l'intervalle $[\frac{1}{2}, 1]$ est stable par $f$ , que $f$ y est décroissante, et que la suite $(u_{n})$ y reste.

b) Montrer que $f \circ f$ est croissante sur $[\frac{1}{2}, 1]$ , et calculer $(f \circ f) (x)$ . En déduire que les suites $(u_{2 n})$ et $(u_{2 n + 1})$ sont monotones, de sens contraires.

c) Montrer que ces deux suites convergent vers des points fixes de $f \circ f$ situés dans $[\frac{1}{2}, 1]$ , que $f \circ f$ n'a qu'un point fixe dans cet intervalle, $ℓ = \frac{5 - 1}{2}$ , et conclure que $u_{n} \to ℓ$ .

d) On note $(F_{n})$ la suite de Fibonacci : $F_{0} = 0$ , $F_{1} = 1$ et $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$ . Montrer que $u_{n} = \frac{F _{n + 1}}{F _{n + 2}}$ pour tout $n$ , et retrouver ainsi la limite de $(u_{n})$ à l'aide de la formule de Binet du cours.

Corrigé de la question 1

La stratégie. Le plan d'étude du cours bute ici sur la monotonie : quand $f$ est décroissante, la suite $u_{n + 1} = f (u_{n})$ saute d'un côté à l'autre de sa limite. Le cours donne la parade : $f \circ f$ est croissante, et les rangs pairs d'une part, les rangs impairs d'autre part, vérifient chacun une récurrence $v_{n + 1} = (f \circ f) (v_{n})$ . On étudie ces deux suites séparément, puis on les recolle.

a) Un intervalle stable. La fonction $f$ est décroissante sur $[0, + \infty [$ , comme inverse d'une fonction croissante et strictement positive. Pour $x \in [\frac{1}{2}, 1]$ , la décroissance donne $f (1) \leq f (x) \leq f (\frac{1}{2})$ , soit $\frac{1}{2} \leq f (x) \leq \frac{2}{3}$ : l'intervalle est stable, et comme $u_{0} = 1$ lui appartient, une récurrence immédiate montre que $u_{n} \in [\frac{1}{2}, 1]$ pour tout $n$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Montrer que $f \circ f$ est croissante sur $[\frac{1}{2}, 1]$ , et calculer $(f \circ f) (x)$ . En déduire que les suites $(u_{2 n})$ et $(u_{2 n + 1})$ sont monotones, de sens contraires.

Élève

J'ai montré que $f \circ f$ est croissante et que $u_{2 n + 2} = (f \circ f) (u_{2 n})$ . Mais une fonction croissante ne donne pas forcément une suite croissante : comment savoir dans quel sens va $(u_{2 n})$ ?

Pour une récurrence $v_{n + 1} = h (v_{n})$ avec $h$ croissante sur un intervalle stable, la suite est monotone, mais son sens dépend du départ. Comment la croissance de $h$ permet-elle de transmettre une inégalité entre $v_{n + 1}$ et $v_{n}$ au rang suivant ?

Élève

Si $v_{n + 1} \leq v_{n}$ , j'applique $f \circ f$ , croissante sur l'intervalle stable, et j'obtiens $v_{n + 2} \leq v_{n + 1}$ ; de même avec l'inégalité inverse. Le sens est donc fixé par la comparaison de $v_{1}$ et $v_{0}$ .

Calcule $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ : comment se comparent $u_{2}$ et $u_{0}$ , puis $u_{3}$ et $u_{1}$ , et qu'en conclus-tu pour le sens de chacune des deux suites extraites ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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