Le nombre d'or, par une suite qui oscille

La stratégie. Le plan d'étude du cours bute ici sur la monotonie : quand $f$ est décroissante, la suite $u_{n+1}=f(u_n)$ saute d'un côté à l'autre de sa limite. Le cours donne la parade : $f\circ f$ est croissante, et les rangs pairs d'une part, les rangs impairs d'autre part, vérifient chacun une récurrence $v_{n+1}=(f\circ f)(v_n)$. On étudie ces deux suites séparément, puis on les recolle.

a) Un intervalle stable. La fonction $f$ est décroissante sur $[0,+\infty [$, comme inverse d'une fonction croissante et strictement positive. Pour $x\in \left[\frac{1}{2},1\right]$, la décroissance donne $f(1)\le f(x)\le f\left(\frac{1}{2}\right)$, soit $\frac{1}{2}\le f(x)\le \frac{2}{3}$ : l'intervalle est stable, et comme $u_0=1$ lui appartient, une récurrence immédiate montre que $u_n\in \left[\frac{1}{2},1\right]$ pour tout $n$.

b) La composée est croissante. Si $\frac{1}{2}\le x\le y\le 1$, la décroissance de $f$ donne $f(x)\ge f(y)$ ; ces deux réels sont encore dans l'intervalle, et une seconde application de $f$ renverse à nouveau l'inégalité : $f(f(x))\le f(f(y))$. Deux renversements font une croissance. Et, pour $x\ge 0$, $$(f\circ f)(x)=\frac{1}{1+\frac{1}{1+x}}=\frac{1+x}{2+x}.$$ Posons $v_n=u_{2n}$ et $w_n=u_{2n+1}$ ; alors $v_{n+1}=u_{2n+2}=f(f(u_{2n}))=(f\circ f)(v_n)$, et de même $w_{n+1}=(f\circ f)(w_n)$. Les premiers termes sont $u_1=\frac{1}{2}$, $u_2=\frac{2}{3}$ et $u_3=\frac{3}{5}$, donc $$v_1-v_0=u_2-u_0=\frac{2}{3}-1<0\text{et}{w}_1-w_0=u_3-u_1=\frac{3}{5}-\frac{1}{2}>0.$$ Montrons par récurrence que $v_{n+1}\le v_n$ pour tout $n$ : c'est vrai au rang $0$ ; et si $v_{n+1}\le v_n$, la croissance de $f\circ f$ sur l'intervalle stable donne $(f\circ f)(v_{n+1})\le (f\circ f)(v_n)$, c'est-à-dire $v_{n+2}\le v_{n+1}$. La suite $(u_{2n})$ est décroissante ; la même récurrence, partie de $w_1\ge w_0$, montre que $(u_{2n+1})$ est croissante.

Le point délicat. C'est $f\circ f$ qui doit être croissante, pas $f$. Chercher à prouver que $(u_n)$ elle-même est monotone est une impasse : $1$, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{5}$ — elle descend, remonte, redescend. Le remède est structurel : on regarde deux pas à la fois.

c) Convergence et recollement. La suite $(u_{2n})$ est décroissante et minorée par $\frac{1}{2}$ : par le théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel ${\ell }_1$, qui appartient à $\left[\frac{1}{2},1\right]$ par passage à la limite dans l'encadrement. De même, $(u_{2n+1})$, croissante et majorée par $1$, converge vers ${\ell }_2\in \left[\frac{1}{2},1\right]$. La fonction $f\circ f$ est continue sur $\left[\frac{1}{2},1\right]$ ; par le théorème « limite et point fixe », appliqué aux deux récurrences, ${\ell }_1$ et ${\ell }_2$ sont des points fixes de $f\circ f$. Or, pour $x\ge 0$, $$\frac{1+x}{2+x}=x⟺1+x=2x+x^2⟺x^2+x-1=0.$$ Ce trinôme a pour discriminant $5$ et pour racines $\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$, dont une seule est positive : $\ell =\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0,618$. Comme ${\ell }_1$ et ${\ell }_2$ sont positifs, ${\ell }_1={\ell }_2=\ell$. Les rangs pairs et les rangs impairs ont la même limite : par le théorème de recollement, $u_n\to \frac{\sqrt{5}-1}{2}$. (Si $f\circ f$ avait eu deux points fixes distincts dans l'intervalle, rien n'aurait empêché les deux suites de converger vers deux limites différentes, et la suite de diverger : c'est l'unicité du point fixe qui recolle.)

d) Fibonacci. Les termes de la suite de Fibonacci sont des entiers strictement positifs dès le rang $1$ (récurrence immédiate), donc les quotients $\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}$ sont bien définis. Montrons par récurrence que $u_n=\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}$. Au rang $0$ : $\frac{F_1}{F_2}=\frac{1}{1}=1=u_0$. Si $u_n=\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}$, alors $$u_{n+1}=\frac{1}{1+\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}}=\frac{F_{n+2}}{F_{n+2}+F_{n+1}}=\frac{F_{n+2}}{F_{n+3}}.$$ La formule est établie. Or le cours déduit de la formule de Binet, $F_n=\frac{{\phi }^n-{\phi }^{\prime n}}{\sqrt{5}}$ avec $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et ${\phi }^{\prime }=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$, que $\frac{F_{n+1}}{F_n}\to \phi$. Donc $\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}\to \phi$, et par passage à l'inverse $$u_n=\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}⟶\frac{1}{\phi }=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{2\left(\sqrt{5}-1\right)}{5-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$$ On retrouve la limite par un chemin entièrement différent. Numériquement, $u_{10}=\frac{89}{144}\approx 0,61806$, contre $\ell \approx 0,61803$.

Ce que l'exercice installe. Le second régime des suites $u_{n+1}=f(u_n)$ : si $f$ est croissante, la suite est monotone ; si $f$ est décroissante, elle oscille, et l'on travaille sur $f\circ f$, rangs pairs et impairs séparément, avant de recoller. La représentation en escalier du cours devient alors une spirale qui s'enroule autour du point fixe. On retrouvera ce régime au TD 6 avec le cosinus itéré, dont les termes alternent eux aussi de part et d'autre de la limite.