Problème : la constante d'Euler, et la somme alternée qui tend vers $\ln 2$

1) L'encadrement du logarithme. Majoration. Appliquons l'inégalité à $t=\frac{1}{k}$, qui est bien strictement supérieur à $-1$ : $\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)\le \frac{1}{k}$. Or $1+\frac{1}{k}=\frac{k+1}{k}$, et le logarithme transforme les quotients en différences : $\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)=\ln (k+1)-\ln k$. D'où la majoration.

Minoration. Appliquons cette fois l'inégalité à $t=-\frac{1}{k+1}$, qui est lui aussi strictement supérieur à $-1$ : $$\ln \left(1-\frac{1}{k+1}\right)\le -\frac{1}{k+1}.$$ Or $1-\frac{1}{k+1}=\frac{k}{k+1}$, donc le membre de gauche vaut $\ln k-\ln (k+1)$. En multipliant par $-1$, ce qui renverse l'inégalité : $\ln (k+1)-\ln k\ge \frac{1}{k+1}$. L'encadrement est établi.

Le point délicat. Une seule inégalité du cours donne les deux côtés de l'encadrement, appliquée en deux points dont l'un est négatif : c'est pour cela que l'hypothèse $t>-1$, et non $t>0$, compte.

2) Deux suites adjacentes. $(u_n)$ décroît. Pour $n\ge 1$, $$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-(\ln (n+1)-\ln n)\le 0,$$ par la minoration du 1) au rang $k=n$.

$(v_n)$ croît. De même, $$v_{n+1}-v_n=\frac{1}{n+1}-(\ln (n+2)-\ln (n+1))\ge 0,$$ par la majoration du 1) au rang $k=n+1$.

L'écart tend vers $0$. On a $u_n-v_n=\ln (n+1)-\ln n$, et le 1) donne $0\le u_n-v_n\le \frac{1}{n}$ ; par encadrement, $u_n-v_n\to 0$.

Les trois conditions sont réunies : $(v_n)$ et $(u_n)$ sont adjacentes. Le théorème des suites adjacentes affirme qu'elles convergent vers une même limite $\gamma$, et que pour tout $n\ge 1$, $$v_n\le \gamma \le u_n.$$ Par conséquent $0\le u_n-\gamma \le u_n-v_n\le \frac{1}{n}$. En particulier, avec $n=1$ : $v_1=1-\ln 2\le \gamma \le u_1=1$, donc $\gamma >0$, puisque $\ln 2<1$.

Le point délicat. $H_n$ et $\ln n$ tendent tous deux vers $+\infty$ : leur différence est une forme indéterminée, et aucun théorème sur les opérations ne prévoit qu'elle converge. C'est l'encadrement du 1), utilisé deux fois — la minoration pour $(u_n)$, la majoration pour $(v_n)$ —, qui fait tout le travail. Et le théorème donne l'existence de $\gamma$, pas sa valeur : on ne sait toujours pas si $\gamma$ est rationnel.

3) La divergence de $H_n$, et sa vitesse. Comme $u_n\ge \gamma >0$, on a $H_n=\ln n+u_n\ge \ln n$, et $\ln n\to +\infty$ : par minoration, $H_n\to +\infty$. Pour $n\ge 2$, $\ln n>0$ et $$\frac{H_n}{\ln n}=1+\frac{u_n}{\ln n}.$$ La suite $(u_n)$ est bornée — comprise entre $\gamma$ et $u_1=1$ — et $\frac{1}{\ln n}\to 0$ : le produit d'une suite bornée par une suite de limite nulle tend vers $0$. Donc $\frac{H_n}{\ln n}\to 1$ : la somme des inverses des $n$ premiers entiers croît comme le logarithme de $n$ — avec une lenteur remarquable, puisque le quotient vaut encore $1,042$ pour $n=10^6$.

4) La somme des inverses de $n+1$ à $2n$. $H_{2n}-H_n$ est la somme des $\frac{1}{k}$ pour $k$ allant de $n+1$ à $2n$, termes de $H_{2n}$ absents de $H_n$. Avec $\ln (2n)=\ln 2+\ln n$, $$H_{2n}-H_n=(u_{2n}+\ln (2n))-(u_n+\ln n)=u_{2n}-u_n+\ln 2.$$ La suite $(u_{2n})$ est extraite de $(u_n)$, qui converge vers $\gamma$ : elle tend aussi vers $\gamma$. Donc $$H_{2n}-H_n=\sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}⟶\gamma -\gamma +\ln 2=\ln 2.$$ Le point délicat. La constante $\gamma$, dont on ignore la valeur, disparaît dans la différence : c'est ce qui donne une limite exacte à partir d'une constante inconnue. Numériquement, $H_{200}-H_{100}\approx 0,6907$, contre $\ln 2\approx 0,6931$.

5) La somme alternée. Le lien avec $H$. Dans $A_{2n}$, les termes de rang impair sont comptés positivement et ceux de rang pair négativement. On obtient donc $A_{2n}$ en retranchant de $H_{2n}$ deux fois la somme de ses termes de rang pair, qui sont les $\frac{1}{2j}$ pour $j$ allant de $1$ à $n$ : $$A_{2n}=H_{2n}-2\sum _{j=1}^n\frac{1}{2j}=H_{2n}-\sum _{j=1}^n\frac{1}{j}=H_{2n}-H_n.$$

Deux suites adjacentes. Pour $n\ge 1$, $$A_{2n+2}-A_{2n}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}>0,A_{2n+1}-A_{2n-1}=-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}<0:$$ $(A_{2n})$ est croissante et $(A_{2n-1})$ est décroissante ; enfin $A_{2n-1}-A_{2n}=\frac{1}{2n}\to 0$. Les deux suites sont adjacentes. Elles convergent vers une même limite, qui est celle de $(A_{2n})$, c'est-à-dire, d'après le 4), $\ln 2$. La suite $(A_{2n+1})$, qui est la suite $(A_{2n-1})$ décalée d'un rang, tend elle aussi vers $\ln 2$. Les termes de rang pair et de rang impair ayant la même limite, le théorème de recollement donne $$A_n⟶\ln 2.$$

L'erreur. Le théorème des suites adjacentes fournit en outre $A_{2p}\le \ln 2\le A_{2q-1}$ pour tous $p,q\ge 1$. Pour un rang pair $n=2p$, on en tire $0\le \ln 2-A_{2p}\le A_{2p+1}-A_{2p}=\frac{1}{2p+1}=\frac{1}{n+1}$. Pour un rang impair $n=2p-1$, $0\le A_{2p-1}-\ln 2\le A_{2p-1}-A_{2p}=\frac{1}{2p}=\frac{1}{n+1}$. Dans les deux cas, $$|A_n-\ln 2|\le \frac{1}{n+1}.$$

Le point délicat. L'adjacence prouve l'existence d'une limite commune, pas sa valeur ; c'est le 4) qui l'identifie. Et les sommes partielles encadrent $\ln 2$ alternativement par défaut et par excès. (La croissance de $(A_{2n})$, c'est-à-dire de $H_{2n}-H_n$, jointe à la majoration $H_{2n}-H_n\le \frac{n}{n+1}<1$, suffisait à prouver la convergence de cette suite par le théorème de la limite monotone ; le problème en donne en plus la valeur.)

6) Le compte. La constante d'Euler. Avec $n=100$ : $u_{100}\approx 5,187378-4,605170=0,582208$ et $v_{100}\approx 5,187378-4,615121=0,572257$. Les données étant arrondies à $10^{-6}$ près, on peut affirmer $$0,57225\le \gamma \le 0,58221,$$ encadrement d'amplitude $0,00996<10^{-2}$ ; la valeur connue est $\gamma \approx 0,577216$.

La somme alternée. La question 5 garantit $|A_n-\ln 2|\le 10^{-3}$ dès que $\frac{1}{n+1}\le 10^{-3}$, c'est-à-dire $n\ge 999$ : près de mille termes pour trois décimales. L'erreur réelle est environ moitié moindre — $|A_{1000}-\ln 2|\approx 0,00050$ —, mais elle reste de l'ordre de $\frac{1}{n}$ : chaque décimale supplémentaire coûte dix fois plus de termes. C'est une convergence lente.

La comparaison. La moyenne arithmético-géométrique de l'exercice 4 donnait dix décimales en quatre itérations, son écart étant élevé au carré à chaque pas ; ici, l'écart ne décroît que comme l'inverse de $n$. Deux couples de suites adjacentes, deux vitesses sans commune mesure.

Les théorèmes obtenus.

Constante d'Euler. La suite $\left(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n\right)$ converge ; sa limite est la constante d'Euler $\gamma \approx 0,5772$, et pour tout $n\ge 1$, $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln (n+1)\le \gamma \le \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n$.

Somme alternée des inverses (Mercator, 1668). $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots +\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}⟶\ln 2$, et l'erreur commise au rang $n$ est au plus $\frac{1}{n+1}$.

Ce que le problème installe. Une méthode : comparer une somme à un logarithme terme à terme, en encadrant $\ln (k+1)-\ln k$ entre $\frac{1}{k+1}$ et $\frac{1}{k}$, puis en télescopant — c'est comparer l'aire sous l'hyperbole $t\mapsto \frac{1}{t}$ entre $k$ et $k+1$ aux aires de deux rectangles, ce que le chapitre d'intégration appellera la comparaison entre une somme et une intégrale. Un réflexe : fabriquer une seconde suite adjacente pour transformer une convergence en encadrement. Et une leçon : une constante inconnue peut s'éliminer et laisser une limite exacte. La séance de travaux dirigés consacrée aux séries (TD 17) reprendra la constante d'Euler par un autre chemin — le lien entre une suite et la série de ses accroissements — et mesurera la vitesse à laquelle $u_n$ s'approche de $\gamma$.