mathématiques (PCSI) · Chapitre 5 · Application directe du cours

Récurrence linéaire d'ordre 2

Nombres réels et suites numériques · F. Suites particulières · niveau 2

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ , $u_{1} = 8$ et $u_{n + 2} = u_{n + 1} + 2 u_{n}$ . Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .

Corrigé

Équation caractéristique : $r^{2} = r + 2$ , soit $r^{2} - r - 2 = (r - 2) (r + 1) = 0$ : racines $2$ et $- 1$ . Donc $u_{n} = λ 2^{n} + μ (- 1)^{n}$ , avec :

$u_{0} = λ + μ = 1, u_{1} = 2 λ - μ = 8,$

d'où $λ = 3$ et $μ = - 2$ :

$u_{n} = 3 \cdot 2^{n} - 2 (- 1)^{n} .$

Contrôle : $u_{2} = u_{1} + 2 u_{0} = 10$ et $3 \cdot 4 - 2 = 10$ . ✔

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