mathématiques (PCSI) · Chapitre 5 · Application directe du cours

Suite arithmético-géométrique

Nombres réels et suites numériques · F. Suites particulières · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 5$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 4$ . Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ et étudier la limite. Que se passe-t-il si $u_{0} = 2$ ?

Corrigé

Point fixe : $ω = 3 ω - 4$ donne $ω = 2$ . La suite $v_{n} = u_{n} - 2$ vérifie $v_{n + 1} = 3 v_{n}$ , donc $v_{n} = 3^{n} v_{0} = 3^{n} (u_{0} - 2)$ :

$u_{n} = 2 + (u_{0} - 2) 3^{n} .$

Pour $u_{0} = 5$ : $u_{n} = 2 + 3^{n + 1} \to + \infty$ . Pour $u_{0} = 2$ : la suite est constante égale à $2$ . (Le point fixe est répulsif : on ne converge vers lui qu'en y étant déjà, car $∣ a ∣ = 3 > 1$ .)

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