Une suite d'entiers qui converge

Stratégie : revenir à la définition de la limite, avec un $\epsilon$ choisi exprès pour que deux entiers ne puissent plus se distinguer.

Soit $(u_n)$ une suite d'entiers convergeant vers $\ell \in \mathbb{R}$.

1) On applique la définition avec $\epsilon =\frac{1}{3}$. Il existe un rang $N$ tel que

$$\forall n\ge N,|u_n-\ell |\le \frac{1}{3}.$$

2) Deux termes au-delà de $N$ sont très proches. Pour $m,n\ge N$, l'inégalité triangulaire donne

$$|u_n-u_m|=|(u_n-\ell )+(\ell -u_m)|\le |u_n-\ell |+|\ell -u_m|\le \frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$$

3) Deux entiers proches sont égaux. Le nombre $u_n-u_m$ est un entier — différence de deux entiers — de valeur absolue au plus $\frac{2}{3}<1$. Le seul entier de valeur absolue strictement inférieure à $1$ est $0$. Donc $u_n=u_m$ pour tous $m,n\ge N$ : la suite est constante à partir du rang $N$, égale à $u_N$.

(Au passage, la limite $\ell$ vaut alors $u_N$ : c'est un entier.)

⚠️ Le choix $\epsilon =\frac{1}{3}$ n'a rien de magique, mais il n'est pas non plus libre. Il faut $2\epsilon <1$, pour que l'inégalité triangulaire donne un écart strictement inférieur à $1$. Avec $\epsilon =\frac{1}{2}$ on n'obtiendrait que $|u_n-u_m|\le 1$, ce qui laisse passer $\pm 1$ : l'argument tomberait. Et avec $\epsilon =1$, deux entiers distants de $2$ pourraient très bien rester chacun à distance $1$ de $\ell$.

⚠️ L'hypothèse « à valeurs entières » est évidemment indispensable : $u_n=\frac{1}{n}$ converge vers $0$ sans jamais être constante. Ce que l'exercice exploite, c'est que $\mathbb{Z}$ est discret — ses points sont espacés d'au moins $1$.

Contrôle numérique. Prenons $u_n=\lfloor \frac{10}{n}\rfloor$ pour $n\ge 1$ : elle vaut $10,5,3,2,2,1,1,1,1,1$, puis $0$ à partir de $n=11$. Elle converge vers $0$, et elle est bien stationnaire — conformément à l'énoncé. ✔

Ce que l'exercice installe. Dans un ensemble discret, converger, c'est atteindre : il n'y a pas de place pour s'approcher indéfiniment sans finir par se poser. L'argument « deux entiers à distance $<1$ sont égaux » resservira chaque fois qu'il faudra forcer une égalité entre quantités entières — notamment dans les preuves d'irrationalité.