Une suite définie implicitement

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 5 — Nombres réels et suites numériques · B. Limites : définitions, opérations, comparaison

Énoncé

Pour $n \in N^{*}$ et $x \geq 0$ , on pose $f_{n} (x) = x^{5} + n x - 1$ .

a) Montrer que $f_{n}$ s'annule en un unique point de $[0, + \infty [$ , que l'on note $u_{n}$ , et que $0 < u_{n} < \frac{1}{n}$ .

b) Calculer $f_{n + 1} (u_{n})$ . En déduire que la suite $(u_{n})$ est strictement décroissante.

c) Montrer que $u_{n} \to 0$ , puis que $n u_{n} \to 1$ .

d) Montrer que $n^{6} (\frac{1}{n} - u_{n}) = (n u_{n})^{5}$ . En déduire que $n^{6} (\frac{1}{n} - u_{n}) \to 1$ , et que $\frac{1}{n} - \frac{1}{n ^{6}} < u_{n} < \frac{1}{n}$ pour tout $n \geq 1$ .

Corrigé

La stratégie. L'équation $x^{5} + n x = 1$ n'a pas de formule de résolution. On étudie donc $u_{n}$ en trois gestes, ceux de toute suite définie implicitement : localiser $u_{n}$ en évaluant $f_{n}$ en des points bien choisis ; obtenir la monotonie en plaçant $u_{n}$ dans l'équation du rang suivant ; obtenir les limites en réinjectant l'équation elle-même.

a) Existence, unicité, localisation. Sur $[0, + \infty [$ , les fonctions $x \mapsto x^{5}$ et $x \mapsto n x$ sont continues et strictement croissantes, puisque $n \geq 1$ ; leur somme l'est aussi, et donc $f_{n}$ , qui en diffère d'une constante. D'après le théorème de la fonction réciproque — admis au chapitre des techniques d'analyse, et que le chapitre suivant démontrera sous le nom de théorème de la bijection —, $f_{n}$ réalise une bijection de l'intervalle $[0, + \infty [$ sur l'intervalle $J_{n} = f_{n} ([0, + \infty [)$ .

Or $f_{n} (0) = - 1 < 0$ et $f_{n} (\frac{1}{n}) = \frac{1}{n ^{5}} + 1 - 1 = \frac{1}{n ^{5}} > 0.$ L'intervalle $J_{n}$ contient donc $- 1$ et $\frac{1}{n ^{5}}$ , et, par la caractérisation des intervalles, tout réel compris entre eux, en particulier $0$ . Le réel $0$ a ainsi un antécédent et un seul par $f_{n}$ dans $[0, + \infty [$ : c'est le réel $u_{n}$ de l'énoncé.

Localisons-le. On a $u_{n} \neq = 0$ , puisque $f_{n} (0) = - 1 \neq = 0$ ; donc $u_{n} > 0$ . Et si l'on avait $u_{n} \geq \frac{1}{n}$ , la croissance de $f_{n}$ donnerait $0 = f_{n} (u_{n}) \geq f_{n} (\frac{1}{n}) > 0$ , ce qui est absurde. Donc $0 < u_{n} < \frac{1}{n} .$

Le point délicat. Deux hypothèses pour deux conclusions : l'existence de $u_{n}$ vient de la continuité — l'image d'un intervalle est un intervalle, elle ne « saute » pas par-dessus $0$ — ; l'unicité vient de la stricte monotonie, qui rend $f_{n}$ injective. Et le point $\frac{1}{n}$ n'est pas choisi au hasard : c'est la solution de l'équation approchée $n x = 1$ , où l'on a négligé $x^{5}$ .

b) La monotonie, par l'équation du rang suivant. On ne peut pas comparer directement $u_{n}$ et $u_{n + 1}$ , qu'on ne connaît pas. On les place dans la même fonction, $f_{n + 1}$ , dont on connaît la monotonie : $f_{n + 1} (u_{n}) = u_{n}^{5} + (n + 1) u_{n} - 1 = (u_{n}^{5} + n u_{n} - 1) + u_{n} = f_{n} (u_{n}) + u_{n} = u_{n} .$ Ainsi $f_{n + 1} (u_{n}) = u_{n} > 0 = f_{n + 1} (u_{n + 1})$ . Si l'on avait $u_{n + 1} \geq u_{n}$ , la croissance de $f_{n + 1}$ donnerait $f_{n + 1} (u_{n + 1}) \geq f_{n + 1} (u_{n})$ , c'est-à-dire $0 \geq u_{n}$ : c'est faux. Donc $u_{n + 1} < u_{n}$ pour tout $n \geq 1$ : la suite $(u_{n})$ est strictement décroissante.

c) Les limites. L'encadrement $0 < u_{n} < \frac{1}{n}$ , dont les deux membres extrêmes tendent vers $0$ , donne par le théorème d'encadrement $u_{n} \to 0$ .

Pour aller plus loin, on réinjecte l'équation : $f_{n} (u_{n}) = 0$ s'écrit $n u_{n} = 1 - u_{n}^{5} .$ Comme $u_{n} \to 0$ , la puissance $u_{n}^{5}$ tend vers $0$ (opérations sur les limites), donc $n u_{n} \to 1$ . Autrement dit, $u_{n}$ ne se contente pas de tendre vers $0$ : il y tend exactement à la vitesse de $\frac{1}{n}$ .

d) Le terme suivant. Toujours grâce à l'équation, $1 - n u_{n} = u_{n}^{5}$ , donc $n^{6} (\frac{1}{n} - u_{n}) = n^{5} (1 - n u_{n}) = n^{5} u_{n}^{5} = (n u_{n})^{5} .$ Comme $n u_{n} \to 1$ , sa puissance cinquième tend vers $1$ : $n^{6} (\frac{1}{n} - u_{n}) \to 1$ . De plus, la question a) donne $0 < n u_{n} < 1$ , donc $0 < (n u_{n})^{5} < 1$ , c'est-à-dire $0 < \frac{1}{n} - u_{n} < \frac{1}{n ^{6}}, soit \frac{1}{n} - \frac{1}{n ^{6}} < u_{n} < \frac{1}{n} .$

Contrôle numérique. On trouve $u_{1} \approx 0, 7549$ , $u_{2} \approx 0, 4864$ , $u_{3} \approx 0, 3320$ : la suite décroît. Pour $n = 3$ , $(3 u_{3})^{5} \approx 0, 980$ ; pour $n = 10$ , $u_{10} \approx 0, 09999900005$ , pris en étau entre $\frac{1}{10} - 1 0^{- 6}$ et $\frac{1}{10}$ .

Ce que l'exercice installe. Trois gestes pour une suite qu'on ne sait pas calculer : localiser par le signe de $f_{n}$ en des points bien choisis ; comparer deux rangs en évaluant $f_{n + 1}$ en $u_{n}$ ; réinjecter l'équation pour passer d'une limite à la suivante — de $u_{n} \to 0$ à $n u_{n} \to 1$ , puis au terme correctif en $\frac{1}{n ^{6}}$ . Le chapitre d'analyse asymptotique écrira ce résultat comme un développement de $u_{n}$ , et la séance de travaux dirigés qui lui est consacrée (TD 9) reprendra exactement cette technique pour l'équation $x^{n} + x = 1$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.