Calculer V(1, 2, 3, 4) (réponse : 12) et V(1, j, j²) où j = e^2iπ/3…

Avec la convention du cours $V(x_1,\dots ,x_n)={\prod }_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)$ :

Premier calcul. $$V(1,2,3,4)=(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=1\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1=12.$$

Second calcul. $V(1,j,j^2)=(j-1)(j^2-1)(j^2-j)$. On calcule module et argument de chaque facteur, en utilisant $j=e^{2i\pi /3}$, $j^2=e^{-2i\pi /3}$ :

• $j-1=-\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}{e}^{5i\pi /6}$ ;
• $j^2-1=-\frac{3}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}{e}^{-5i\pi /6}$ ;
• $j^2-j=-i\sqrt{3}=\sqrt{3}{e}^{-i\pi /2}$.

Le produit a pour module $(\sqrt{3}{)}^3=3\sqrt{3}$ et pour argument $\frac{5\pi }{6}-\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}$, donc $$V(1,j,j^2)=3\sqrt{3}{e}^{-i\pi /2}=-3\sqrt{3}i.$$

Si l'on remplace $j^2$ par $1$. $V(1,j,1)=(j-1)(1-1)(1-j)=0$. C'était prévisible sans calcul : la première et la troisième ligne de la matrice de Vandermonde deviennent égales (ligne $(1,1,1)$ deux fois), donc le déterminant est nul ; c'est le critère du cours, $V(x_1,\dots ,x_n)\ne 0$ si et seulement si les $x_i$ sont deux à deux distincts.