Dans E = ℂₙ[X], on pose, pour k ∈ {0, 1, 2}, Fₖ = Vect (Xʲ : 0 ≤ j ≤…

L'énoncé du livre pose deux questions : 1) montrer que $E=F_0\oplus F_1\oplus F_2$ et vérifier le décompte des dimensions pour $n=7$ ; 2) pour $\omega =e^{2i\pi /3}$ et $u:P\mapsto P(\omega X)$, montrer que chaque $F_k$ est stable par $u$, que $u_{|F_k}$ est l'homothétie de rapport ${\omega }^k$, et écrire la matrice de $u$ dans une base adaptée.

1) On répartit les vecteurs de la base canonique $(1,X,\dots ,X^n)$ selon le reste de l'exposant $j$ modulo $3$ : on obtient trois sous-familles ${\mathcal{B}}_0,{\mathcal{B}}_1,{\mathcal{B}}_2$, deux à deux disjointes, dont la réunion est la base canonique, et $F_k=\mathrm{Vect}({\mathcal{B}}_k)$ par définition. Chaque ${\mathcal{B}}_k$, extraite d'une famille libre, est une base de $F_k$, et leur concaténation est une base de $E$ : c'est exactement la caractérisation de $E=F_0\oplus F_1\oplus F_2$ par une base adaptée.

Pour $n=7$ : $F_0=\mathrm{Vect}(1,X^3,X^6)$, $F_1=\mathrm{Vect}(X,X^4,X^7)$, $F_2=\mathrm{Vect}(X^2,X^5)$, et l'on a bien $3+3+2=8=\dim {\mathbb{C}}_7[X]$.

2) L'application $u$ est linéaire, car $(\lambda P+Q)(\omega X)=\lambda P(\omega X)+Q(\omega X)$, et elle envoie ${\mathbb{C}}_n[X]$ dans lui-même (le degré ne change pas). Sur la base canonique, $u(X^j)={\omega }^j{X}^j$. Comme ${\omega }^3=1$, on a ${\omega }^j={\omega }^k$ dès que $j\equiv k[3]$. Pour $P={\sum }_{j\equiv k[3]}{a}_j{X}^j\in F_k$, il vient donc $$u(P)=\sum _{j\equiv k[3]}{a}_j{\omega }^j{X}^j={\omega }^{k}P.$$ Ainsi $u(F_k)\subset F_k$ : chaque $F_k$ est stable, et l'endomorphisme induit $u_{|F_k}$ est l'homothétie de rapport ${\omega }^k$.

Dans la base adaptée $({\mathcal{B}}_0,{\mathcal{B}}_1,{\mathcal{B}}_2)$, en notant $d_k=\dim F_k$, la matrice de $u$ est diagonale par blocs : $$\mathrm{Mat}(u)=\mathrm{diag}(I_{d_0},\omega I_{d_1},{\omega }^2{I}_{d_2}),$$ soit, pour $n=7$, $\mathrm{diag}(1,1,1,\omega ,\omega ,\omega ,{\omega }^2,{\omega }^2)$.