Dans Mₙ(𝕂), soient D le sous-espace des matrices diagonales, T⁺ celui…

Existence. Soit $M=(m_{i,j})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$. On sépare ses coefficients selon leur position : $D$ garde les coefficients $m_{i,i}$ (et met des zéros ailleurs), $T^{+}$ garde les $m_{i,j}$ avec $i<j$, $T^{-}$ ceux avec $i>j$. Alors $D\in \mathcal{D}$, $T^{+}\in {\mathcal{T}}^{+}$, $T^{-}\in {\mathcal{T}}^{-}$ et $M=D+T^{+}+T^{-}$.

Unicité. Si $D+T^{+}+T^{-}=0$ avec $D\in \mathcal{D}$, $T^{\pm }\in {\mathcal{T}}^{\pm }$, on lit le coefficient $(i,j)$ : pour $i=j$, seul $D$ contribue, donc $d_{i,i}=0$ ; pour $i<j$, seul $T^{+}$ contribue ; pour $i>j$, seul $T^{-}$. Les trois matrices sont nulles : la somme est directe, et $${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})=\mathcal{D}\oplus {\mathcal{T}}^{+}\oplus {\mathcal{T}}^{-}.$$

Base adaptée. La base canonique $(E_{i,j})$ se partitionne en $(E_{i,i}{)}_{1\le i\le n}$, base de $\mathcal{D}$, $(E_{i,j}{)}_{i<j}$, base de ${\mathcal{T}}^{+}$, et $(E_{i,j}{)}_{i>j}$, base de ${\mathcal{T}}^{-}$ ; leur concaténation est la base canonique, c'est une base adaptée à la décomposition.

Décompte. Il y a $n$ couples $(i,i)$, et les $n^2-n$ couples $(i,j)$ avec $i\ne j$ se répartissent également entre $i<j$ et $i>j$ (échange de $i$ et $j$), soit $\frac{n(n-1)}{2}$ chacun : $$n+\frac{n(n-1)}{2}+\frac{n(n-1)}{2}=n+n^2-n=n^2=\dim {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K}).$$