Déduire de … que, pour toutes …, [ tr(ABC) =…

Compléments d'Algèbre Linéaire et Déterminants · E. Trace · niveau 1 (application)

Énoncé

Déduire de $tr (A B) = tr (B A)$ que, pour toutes $A, B, C \in M_{n} (K)$ , $tr (A B C) = tr (B C A) = tr (C A B) .$ Montrer en revanche, sur l'exemple $A = E_{1, 1}$ , $B = E_{1, 2}$ , $C = E_{2, 1}$ dans $M_{2} (K)$ , que $tr (A B C) \neq = tr (B A C)$ (réponses : $1$ et $0$ ). La trace est invariante par permutation circulaire, pas par permutation quelconque : c'est l'erreur la plus fréquente sur ce chapitre.

Corrigé

Invariance circulaire. On applique $tr (M N) = tr (N M)$ en groupant les facteurs :

avec $M = A$ et $N = B C$ : $tr (A B C) = tr (B C A)$ ;
avec $M = A B$ et $N = C$ : $tr (A B C) = tr (C A B)$ .

D'où $tr (A B C) = tr (B C A) = tr (C A B)$ .

Contre-exemple pour une permutation quelconque. Avec la règle $E_{i, j} E_{k, l} = δ_{j, k} E_{i, l}$ : $A B C = E_{1, 1} E_{1, 2} E_{2, 1} = E_{1, 2} E_{2, 1} = E_{1, 1}, tr (A B C) = 1,$ $B A C = E_{1, 2} E_{1, 1} E_{2, 1} = 0 \cdot E_{2, 1} = 0, tr (B A C) = 0$ (car $E_{1, 2} E_{1, 1} = 0$ , l'indice $2$ ne rencontrant pas l'indice $1$ ). Donc $tr (A B C) \neq = tr (B A C)$ .

Conclusion. La trace d'un produit ne change pas quand on fait tourner les facteurs ( $A B C \to B C A \to C A B$ ), mais échanger deux facteurs voisins ( $A B C \to B A C$ ) n'est pas une rotation : la trace peut changer.

Déduire de … que, pour toutes …, [ tr(ABC) =…

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