Des projecteurs de somme id découpent l'espace

Stratégie. L'hypothèse est une égalité d'endomorphismes ; la trace, qui est linéaire, la transforme en une égalité de dimensions, et c'est le théorème d'inégalité des dimensions qui conclut. Aucun calcul en coordonnées n'intervient.

Étape 1 : la somme vaut $E$. Pour tout $x\in E$, $x={\mathrm{id}}_E(x)={\sum }_{i=1}^k{p}_i(x)$, chaque terme $p_i(x)$ étant dans $\mathrm{Im}(p_i)$. Donc $$E=\sum _{i=1}^k\mathrm{Im}(p_i).$$

Étape 2 : le décompte des dimensions. La trace est une forme linéaire, donc $$n=\mathrm{tr}({\mathrm{id}}_E)=\sum _{i=1}^k\mathrm{tr}(p_i)=\sum _{i=1}^k\mathrm{rg}(p_i)=\sum _{i=1}^k\dim \mathrm{Im}(p_i),$$ la troisième égalité étant la proposition $\mathrm{tr}(p)=\mathrm{rg}(p)$, valable parce que chaque $p_i$ est un projecteur.

Étape 3 : la somme est directe. Les étapes 1 et 2 donnent $$\dim (\sum _{i=1}^k\mathrm{Im}(p_i))=n=\sum _{i=1}^k\dim \mathrm{Im}(p_i),$$ c'est-à-dire le cas d'égalité du théorème d'inégalité des dimensions : la somme est directe. D'où $$E=\mathrm{Im}(p_1)\oplus \mathrm{Im}(p_2)\oplus \cdots \oplus \mathrm{Im}(p_k).$$

Étape 4 : les composées croisées sont nulles. Fixons $j$ et $x\in \mathrm{Im}(p_j)$. Un projecteur est l'identité sur son image : si $x=p_j(y)$, alors $p_j(x)=p_j^2(y)=p_j(y)=x$. En appliquant l'hypothèse à ce $x$ : $$x=\sum _{i=1}^k{p}_i(x)=p_j(x)+\sum _{i\ne j}{p}_i(x)=x+\sum _{i\ne j}{p}_i(x),\text{donc}\sum _{i\ne j}{p}_i(x)=0_E.$$ Chaque $p_i(x)$ appartient à $\mathrm{Im}(p_i)$ et la somme des $\mathrm{Im}(p_i)$ est directe : la décomposition du vecteur nul est unique, donc $p_i(x)=0_E$ pour tout $i\ne j$. Ceci valant pour tout $x\in \mathrm{Im}(p_j)$, on obtient $p_i\circ p_j=0$ dès que $i\ne j$.

Réciproque et lecture. Si $E=F_1\oplus \cdots \oplus F_k$ et si $p_i$ désigne le projecteur sur $F_i$ parallèlement à ${⨁}_{j\ne i}{F}_j$, alors ${\sum }_i{p}_i={\mathrm{id}}_E$ par unicité de la décomposition. L'exercice établit donc un dictionnaire complet : se donner une famille de projecteurs de somme $\mathrm{id}$, c'est se donner une décomposition de $E$ en somme directe. Pour $k=2$ on retrouve l'énoncé familier : $q=\mathrm{id}-p$ est le projecteur sur $\ker p$ parallèlement à $\mathrm{Im}p$.