Déterminant circulant et racines de l'unité

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PSI), chapitre 1 — Compléments d'Algèbre Linéaire et Déterminants · Z. Problèmes de concours corrigés

Énoncé

Soit $A \in M_{n} (C)$ la matrice circulante définie par : $A = a_{0} a_{n - 1} ⋮ a_{1} a_{1} a_{0} ⋱ a_{2} a_{2} a_{1} ⋱ \dots \dots \dots ⋱ a_{n - 1} a_{n - 1} a_{n - 2} ⋮ a_{0} .$ Calculer $det (A)$ en introduisant la matrice de permutation circulaire $J = 00 ⋮ 1 100 01 \dots \dots \dots 10$ .

Corrigé

On remarque que $A = P (J)$ où $P (X) = \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{k} X^{k}$ .
La matrice $J$ vérifie $J^{n} = I_{n}$ , donc $X^{n} - 1$ est un polynôme annulateur de $J$ , scindé à racines simples sur $C$ : les racines $n$ -ièmes de l'unité $ω_{k} = e^{2 i k π / n}$ ( $k \in [[0, n - 1]]$ ).
$J$ est donc diagonalisable dans $M_{n} (C)$ : il existe $Q \in GL_{n} (C)$ telle que $Q^{- 1} J Q = diag (1, ω, ω^{2}, \dots, ω^{n - 1})$ avec $ω = e^{2 i π / n}$ .
Par morphisme d'algèbres, $Q^{- 1} A Q = Q^{- 1} P (J) Q = P (Q^{- 1} J Q) = diag (P (1), P (ω), \dots, P (ω^{n - 1}))$ .
Le déterminant d'une matrice étant invariant par similitude : $det (A) = k = 0 \prod n - 1 P (ω^{k}) = k = 0 \prod n - 1 (j = 0 \sum n - 1 a_{j} e^{\frac{2 i j k π}{n}}) .$

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