Déterminer l'ensemble des polynômes annulateurs de …, puis…

Cas de $A$. On a $A^2=0$, donc $A^k=0$ pour $k\ge 2$. Pour $P={\sum }_k{a}_k{X}^k$, il reste $$P(A)=a_0{I}_2+a_{1}A=P(0)I_2+P^{\prime }(0)A.$$ La famille $(I_2,A)$ étant libre, $P(A)=0⟺P(0)=P^{\prime }(0)=0⟺0$ est racine au moins double de $P⟺X^2\mid P$. Les polynômes annulateurs de $A$ sont exactement les multiples de $X^2$.

Cas de $B$. Pour $P\in \mathbb{K}[X]$, $P(B)=\mathrm{diag}(P(1),P(2))$, donc $P(B)=0⟺P(1)=P(2)=0⟺(X-1)(X-2)\mid P$ (les racines $1$ et $2$ étant distinctes). Les annulateurs de $B$ sont les multiples de $(X-1)(X-2)$.

Structure. Si $X^2$ divise $P$ et $Q$, il divise $P+Q$ et $RP$ pour tout $R\in \mathbb{K}[X]$ ; de même pour $(X-1)(X-2)$. On le voit aussi directement : $(P+Q)(A)=P(A)+Q(A)$ et $(RP)(A)=R(A)P(A)$, ce qui vaut pour n'importe quelle matrice. Dans les deux cas, l'ensemble des annulateurs est formé des multiples d'un seul polynôme unitaire, $X^2$ pour $A$ et $(X-1)(X-2)$ pour $B$ : c'est l'annulateur unitaire de plus petit degré, et il engendre tous les autres. Connaître celui-là, c'est les connaître tous.