Le coefficient dominant lu dans la base de Lagrange

Stratégie. La base de Lagrange transforme « lire un coefficient » en « lire des valeurs » : puisque tout $P\in {\mathbb{K}}_n[X]$ s'écrit $P={\sum }_{i}P(x_i)L_i$, il suffit de connaître le coefficient dominant de chaque $L_i$ — il est explicite — pour lire celui de $P$. La question (c) sort de ${\mathbb{K}}_n[X]$ : on y revient par une division euclidienne.

Notons, pour $i\in [[0,n]]$, $${\pi }_i=\prod _{j\ne i}(x_i-x_j)\ne 0\text{(les }{x}_i\text{ sont deux aˋ deux distincts)}.$$

1. Le coefficient de $X^n$. Soit $P\in {\mathbb{K}}_n[X]$. La famille $(L_0,\dots ,L_n)$ est une base de ${\mathbb{K}}_n[X]$ et $L_i(x_k)={\delta }_{i,k}$ ; les deux polynômes $P$ et ${\sum }_{i}P(x_i)L_i$ appartiennent à ${\mathbb{K}}_n[X]$ et prennent la même valeur $P(x_k)$ en chacun des $n+1$ points $x_k$. Leur différence, de degré $\le n$, a $n+1$ racines distinctes : elle est nulle. Donc $$P=\sum _{i=0}^{n}P(x_i)L_i.(\star )$$ Par ailleurs $L_i=\frac{1}{{\pi }_i}{\prod }_{j\ne i}(X-x_j)$ est de degré exactement $n$, de coefficient dominant $\frac{1}{{\pi }_i}$. L'application « coefficient de $X^n$ » étant une forme linéaire sur ${\mathbb{K}}_n[X]$, on l'applique à $(\star )$ : $$\left[\text{coefficient de }{X}^n\text{ dans }P\right]=\sum _{i=0}^n\frac{P(x_i)}{{\pi }_i}=\sum _{i=0}^n\frac{P(x_i)}{\prod _{j\ne i}(x_i-x_j)}.$$

2. Application à $P=X^k$, pour $0\le k\le n$. Ces polynômes appartiennent bien à ${\mathbb{K}}_n[X]$, et leur coefficient de $X^n$ vaut $0$ si $k\le n-1$, et $1$ si $k=n$. La formule du point 1 donne donc $$\sum _{i=0}^n\frac{x_i^k}{\prod _{j\ne i}(x_i-x_j)}=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }0\le k\le n-1,\\ 1& \text{si }k=n.\end{array}$$ Une somme de $n+1$ fractions, toutes non nulles en général, qui s'annule identiquement : c'est le contenu (surprenant) de la formule.

Vérification sur $(x_0,x_1,x_2)=(0,1,2)$, donc $n=2$. Les dénominateurs valent $${\pi }_0=(0-1)(0-2)=2,{\pi }_1=(1-0)(1-2)=-1,{\pi }_2=(2-0)(2-1)=2.$$

• $k=0$ : $\frac{1}{2}+\frac{1}{-1}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-1+\frac{1}{2}=0$. $✓$
• $k=1$ : $\frac{0}{2}+\frac{1}{-1}+\frac{2}{2}=0-1+1=0$. $✓$
• $k=2$ : $\frac{0}{2}+\frac{1}{-1}+\frac{4}{2}=0-1+2=1$. $✓$

3. Le cas $k=n+1$. Ici $X^{n+1}\notin {\mathbb{K}}_n[X]$ : le point 1 ne s'applique pas directement, et c'est précisément là qu'il faut être prudent. Posons $$\Pi =\prod _{i=0}^n(X-x_i)\text{(unitaire, de degreˊ }n+1\text{)},R=X^{n+1}-\Pi .$$ Les termes de degré $n+1$ se compensent, donc $\mathrm{deg}R\le n$ : $R\in {\mathbb{K}}_n[X]$. De plus $\Pi (x_i)=0$, donc $R(x_i)=x_i^{n+1}$ pour tout $i$. Le point 1 appliqué à $R$ donne $$\left[\text{coefficient de }{X}^n\text{ dans }R\right]=\sum _{i=0}^n\frac{x_i^{n+1}}{{\pi }_i}.$$ Reste à calculer ce coefficient autrement. En développant le produit, $\Pi =X^{n+1}-\left({\sum }_i{x}_i\right)X^n+\cdots$ (relations coefficients-racines : le coefficient de $X^n$ d'un polynôme unitaire de degré $n+1$ est l'opposé de la somme de ses racines). Donc $$R=X^{n+1}-\Pi =\left(\sum _{i=0}^n{x}_i\right)X^n+(\text{termes de degreˊ}\le n-1),$$ et par identification $$\sum _{i=0}^n\frac{x_i^{n+1}}{\prod _{j\ne i}(x_i-x_j)}=x_0+x_1+\cdots +x_n.$$ (Au passage, l'égalité $R={\sum }_i{x}_i^{n+1}{L}_i$ obtenue en appliquant $(\star )$ à $R$ n'est autre que l'identité ${\sum }_i{x}_i^{n+1}{L}_i=X^{n+1}-{\prod }_i(X-x_i)$ de l'exercice précédent : les deux énoncés sont la même division euclidienne, lue une fois par l'interpolation et une fois par les coefficients.)

Contrôles.

• Sur $(0,1,2)$ avec $k=3=n+1$ : $\frac{0}{2}+\frac{1}{-1}+\frac{8}{2}=0-1+4=3$, et $x_0+x_1+x_2=0+1+2=3$. $✓$
• Cas $n=1$, calcul direct : $\frac{x_0^2}{x_0-x_1}+\frac{x_1^2}{x_1-x_0}=\frac{x_0^2-x_1^2}{x_0-x_1}=x_0+x_1$. $✓$

Ce qui est acquis. Deux lectures d'un même objet : le coefficient dominant est une forme linéaire, et la base de Lagrange en donne l'expression en fonction des seules valeurs du polynôme. C'est le point de départ des différences divisées et de la formule de Newton en analyse numérique, où ce coefficient dominant porte le nom de différence divisée d'ordre $n$.