Le rang d'un projecteur se lit sur sa trace

Stratégie. Ne jamais échelonner : on reconnaît le projecteur par la relation $p^2=p$ (caractérisation algébrique), on lit son rang sur sa trace, et l'on déduit les deux sous-espaces au lieu de les calculer.

1. Idempotence. Notons $J\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$, de sorte que $A=I_3-\frac{1}{3}J$. Chaque coefficient de $J^2$ vaut ${\sum }_{k=1}^{3}1\times 1=3$, donc $J^2=3J$ et $$A^2=I_3-\frac{2}{3}J+\frac{1}{9}{J}^2=I_3-\frac{2}{3}J+\frac{1}{3}J=I_3-\frac{1}{3}J=A.$$ D'après le théorème de caractérisation algébrique des projecteurs, $p$ est un projecteur.

2. Le rang par la trace. La proposition « trace d'un projecteur » donne $\mathrm{rg}(p)=\mathrm{tr}(p)$. Or $\mathrm{tr}(J)=3$, donc $$\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(I_3)-\frac{1}{3}\mathrm{tr}(J)=3-1=2,\text{d’ouˋ}\mathrm{rg}(p)=2.$$ Trois additions ont remplacé un échelonnement : c'est tout l'intérêt de l'énoncé $\mathrm{tr}(p)=\mathrm{rg}(p)$.

3. Les deux sous-espaces. Le vecteur $u=(1,1,1)$ vérifie $Ju=3u$, donc $Au=u-u=0$ : ainsi $\mathrm{Vect}(u)\subset \ker (p)$. Le théorème du rang donne $\dim \ker (p)=3-2=1$, d'où l'égalité $\ker (p)=\mathrm{Vect}((1,1,1))$. Pour $x=(x_1,x_2,x_3)$, $$p(x)=x-\frac{x_1+x_2+x_3}{3}(1,1,1),$$ dont la somme des coordonnées est nulle : $\mathrm{Im}(p)\subset H$, où $H=\{x_1+x_2+x_3=0\}$. Comme $\dim H=2=\mathrm{rg}(p)$, on a $\mathrm{Im}(p)=H$.

Conclusion. $p$ est la projection sur le plan $H$ parallèlement à la droite $\mathrm{Vect}((1,1,1))$, et ${\mathbb{R}}^3=H\oplus \mathrm{Vect}((1,1,1))$. Contrôle : $2+1=3$ ✓.