Soit p un projecteur de E et s = 2p - id_E.

L'énoncé du livre pose deux questions : 1) montrer que $q={\mathrm{id}}_E-p$ est un projecteur, avec $\mathrm{Im}q=\ker p$ et $\ker q=\mathrm{Im}p$, puis, en dimension finie $n$, que $\mathrm{tr}p+\mathrm{tr}q=n$ ; 2) montrer que $s^2={\mathrm{id}}_E$, $p=\frac{1}{2}(s+{\mathrm{id}}_E)$, $\ker (s-{\mathrm{id}}_E)=\mathrm{Im}p$ et $\ker (s+{\mathrm{id}}_E)=\ker p$.

1) Comme $p^2=p$ : $q^2={\mathrm{id}}_E-2p+p^2={\mathrm{id}}_E-p=q$, donc $q$ est un projecteur.

• $x\in \ker q⟺p(x)=x$. Or un projecteur fixe tout vecteur de son image ($x=p(y)\Rightarrow p(x)=p^2(y)=p(y)=x$), et un vecteur fixé par $p$ est dans $\mathrm{Im}p$. Donc $\ker q=\mathrm{Im}p$.
• Pour tout $x$, $p(q(x))=p(x)-p^2(x)=0$, donc $\mathrm{Im}q\subset \ker p$ ; réciproquement, si $p(x)=0$, alors $x=q(x)\in \mathrm{Im}q$. Donc $\mathrm{Im}q=\ker p$.
• Comme $p+q={\mathrm{id}}_E$, la linéarité de la trace donne $\mathrm{tr}p+\mathrm{tr}q=\mathrm{tr}({\mathrm{id}}_E)=n$ (et l'on retrouve $\mathrm{rg}p+\mathrm{rg}q=n$, puisque la trace d'un projecteur est son rang).

2) $s^2=4p^2-4p+{\mathrm{id}}_E=4p-4p+{\mathrm{id}}_E={\mathrm{id}}_E$, et $p=\frac{1}{2}(s+{\mathrm{id}}_E)$ se lit directement sur $s=2p-{\mathrm{id}}_E$. Ensuite : $$s(x)=x⟺2p(x)=2x⟺p(x)=x⟺x\in \mathrm{Im}p,$$ $$s(x)=-x⟺p(x)=0⟺x\in \ker p.$$ Ainsi $\ker (s-{\mathrm{id}}_E)=\mathrm{Im}p$ et $\ker (s+{\mathrm{id}}_E)=\ker p$ : la décomposition $E=\mathrm{Im}p\oplus \ker p$ du projecteur est exactement la décomposition $E=\ker (s-{\mathrm{id}}_E)\oplus \ker (s+{\mathrm{id}}_E)$ de la symétrie. Se donner l'un, c'est se donner l'autre.