Soit u ∈ L(E).

Soit u ∈ L(E).

Compléments d'Algèbre Linéaire et Déterminants · C. Sous-espaces stables, endomorphisme induit, blocs · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $u \in L (E)$ .

Montrer que si $F$ et $G$ sont stables par $u$ , alors $F + G$ et $F \cap G$ le sont aussi.
Montrer que $ker u$ et $Im u$ sont stables par $u$ .
Vérifier le tout sur $u (x, y, z) = (y, z, 0)$ dans $R^{3}$ : déterminer $ker u$ et $Im u$ , et donner la matrice de l'endomorphisme induit par $u$ sur $Im u$ (réponses : $ker u = Vect (e_{1})$ , $Im u = Vect (e_{1}, e_{2})$ , induit de matrice $(0010)$ ).

Corrigé

L'énoncé du livre pose trois questions : 1) si $F$ et $G$ sont stables par $u$ , montrer que $F + G$ et $F \cap G$ le sont ; 2) montrer que $ker u$ et $Im u$ sont stables par $u$ ; 3) vérifier le tout sur $u (x, y, z) = (y, z, 0)$ dans $R^{3}$ : $ker u$ , $Im u$ et la matrice de l'endomorphisme induit par $u$ sur $Im u$ .

1) Soit $x = f + g \in F + G$ avec $f \in F$ , $g \in G$ . Alors $u (x) = u (f) + u (g)$ avec $u (f) \in F$ et $u (g) \in G$ , donc $u (x) \in F + G$ . Si $x \in F \cap G$ , alors $u (x) \in F$ (stabilité de $F$ ) et $u (x) \in G$ (stabilité de $G$ ), donc $u (x) \in F \cap G$ .

2) Si $x \in ker u$ , alors $u (u (x)) = u (0) = 0$ , donc $u (x) \in ker u$ . Si $x \in Im u$ , alors $u (x)$ est l'image d'un vecteur, donc $u (x) \in Im u$ (c'est même vrai pour tout $x \in E$ ).

3) $u (x, y, z) = 0 ⟺ y = z = 0$ , d'où $ker u = Vect (e_{1})$ . Les images $(y, z, 0)$ décrivent le plan $z = 0$ : $Im u = Vect (e_{1}, e_{2})$ , et $1 + 2 = 3$ confirme le théorème du rang. On a $u (e_{1}) = 0$ et $u (e_{2}) = e_{1}$ : ces deux images restent dans $Vect (e_{1}, e_{2})$ , conformément à la question 2), et la matrice de l'induit $u_{∣ Im u}$ dans la base $(e_{1}, e_{2})$ est $(0010) .$ On remarque au passage que $ker u \subset Im u$ : noyau et image ne sont pas supplémentaires ici.

Énoncé

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