Un polynôme annulateur donne l'inverse et toutes les puissances

Stratégie. L'hypothèse dit exactement que $P=X^3-X-1$ est un polynôme annulateur de $A$. Les trois premières questions sont les trois usages listés par la méthode du cours : isoler le terme constant, diviser euclidiennement, borner le degré.

1. L'inverse. De $A^3-A-I_n=0$ on tire $A^3-A=I_n$, soit $$A\times (A^2-I_n)=(A^2-I_n)\times A=I_n.$$ Donc $A$ est inversible et $A^{-1}=A^2-I_n$. (C'est le mécanisme général : $P(0)=-1\ne 0$ autorise l'inversion, et l'inverse est un polynôme en $A$.)

2. La puissance $A^5$. On divise $X^5$ par $P$ : $$X^5=(X^2+1)(X^3-X-1)+X^2+X+1.$$ En évaluant en $A$ et en utilisant $P(A)=0$ : $$A^5=A^2+A+I_n.$$

3. Toutes les puissances. Pour $k\in \mathbb{N}$, la division euclidienne $X^k=Q_{k}P+R_k$ avec $\mathrm{deg}{R}_k\le 2$ donne $A^k=Q_k(A)P(A)+R_k(A)=R_k(A)$, qui appartient à $\mathrm{Vect}(I_n,A,A^2)$. Autrement dit $\mathbb{K}[A]=\mathrm{Vect}(I_n,A,A^2)$ est de dimension au plus $3$, quelle que soit la taille $n$.

4. Contrôle. On calcule $$C^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right),C^3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)=C+I_3✓.$$ Ensuite $C^2-I_3=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$ et l'on vérifie $C(C^2-I_3)=C^3-C=I_3$ ✓, ainsi que $C^5=C^2+C+I_3$ ✓.