Calculer la matrice jacobienne de f(x, y) = (eˣcos y, eˣ sin y) et son…

Les composantes $f_1(x,y)=e^x\cos y$ et $f_2(x,y)=e^x\sin y$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$. Leurs dérivées partielles sont $$\frac{\partial f_1}{\partial x}=e^x\cos y,\frac{\partial f_1}{\partial y}=-e^x\sin y,\frac{\partial f_2}{\partial x}=e^x\sin y,\frac{\partial f_2}{\partial y}=e^x\cos y.$$ D'où la matrice jacobienne $$J_f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}{e}^x\cos y& -e^x\sin y\\ e^x\sin y& e^x\cos y\end{array}\right)=e^x\left(\begin{array}{cc}\cos y& -\sin y\\ \sin y& \cos y\end{array}\right),$$ et le jacobien $$\det J_f(x,y)=e^{2x}\left({\cos }^{2}y+{\sin }^{2}y\right)=e^{2x}>0.$$

Interprétation. En identifiant ${\mathbb{R}}^2$ à $\mathbb{C}$, $f(x,y)$ est $e^{x+iy}$. La jacobienne est $e^x$ fois la matrice de la rotation d'angle $y$ : localement, $f$ agit comme une similitude directe, la multiplication par le nombre complexe $e^{x+iy}$. Elle ne renverse jamais l'orientation (jacobien $>0$) et dilate les aires du facteur $e^{2x}$.

Remarque. Le jacobien ne s'annule jamais, et pourtant $f$ n'est pas injective : $f(x,y+2\pi )=f(x,y)$. Un jacobien non nul n'apporte qu'une information locale.