Dérivées directionnelles sans différentiabilité

Calcul Différentiel et Optimisation · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire · niveau 2

Énoncé

Soit $f (x, y) = \frac{x ^{2} y}{x ^{4} + y ^{2}}$ pour $(x, y) \neq = (0, 0)$ , et $f (0, 0) = 0$ . Montrer que $f$ admet en $(0, 0)$ une dérivée selon tout vecteur, mais n'y est ni continue ni différentiable.

Corrigé

Dérivées directionnelles : pour $v = (v_{1}, v_{2}) \neq = 0$ , $f (t v) = \frac{t ^{3} v _{1}^{2} v _{2}}{t ^{4} v _{1}^{4} + t ^{2} v _{2}^{2}} = t \frac{v _{1}^{2} v _{2}}{t ^{2} v _{1}^{4} + v _{2}^{2}}$ , donc $\frac{f ( t v ) - 0}{t} = \frac{v _{1}^{2} v _{2}}{t ^{2} v _{1}^{4} + v _{2}^{2}} t \to 0 ⎩ ⎨ ⎧ \frac{v _{1}^{2}}{v _{2}} 0 si v_{2} \neq = 0, si v_{2} = 0 :$ toutes les $D_{v} f (0, 0)$ existent. Non-continuité : le long de la parabole $y = x^{2}$ , $f (x, x^{2}) = \frac{x ^{4}}{2 x ^{4}} = \frac{1}{2} \neq \to 0 = f (0, 0)$ . Non continue, donc a fortiori non différentiable. (Deux leçons : les dérivées directionnelles ne voient que les droites, et la parabole les contourne ; de plus $v \mapsto D_{v} f (0)$ n'est même pas linéaire — aucune différentielle ne peut exister. La différentiabilité est strictement plus forte.)

Dérivées directionnelles sans différentiabilité

Énoncé

Corrigé

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