Dérivées partielles et jacobienne

Exercice de TD · niveau 1 (application) · mathématiques (PSI), chapitre 10 — Calcul Différentiel et Optimisation · Niveau ★ — application directe du cours

Énoncé

Soit $f (x, y) = (x^{2} y, sin (x y))$ , de $R^{2}$ dans $R^{2}$ . Justifier que $f$ est de classe $C^{1}$ , écrire sa matrice jacobienne, et calculer $d f (1, π) \cdot (h, k)$ .

Corrigé

Les dérivées partielles existent et sont continues sur $R^{2}$ (fonctions usuelles) : $f \in C^{1}$ , et $J_{f} (x, y) = (2 x y y cos (x y) x^{2} x cos (x y)), J_{f} (1, π) = (2 π - π 1 - 1),$ d'où $d f (1, π) \cdot (h, k) = (2 π h + k, - π h - k)$ . (La jacobienne se remplit ligne par ligne — une ligne par composante de $f$ — et la différentielle agit par produit matriciel.)

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