Déterminer le plan tangent au graphe de h(x, y) = x² - y² au point (1…

On note $S$ le graphe $z=h(x,y)$. On a $h(1,1)=0$, et les dérivées partielles $\frac{\partial h}{\partial x}=2x$, $\frac{\partial h}{\partial y}=-2y$ valent $2$ et $-2$ en $(1,1)$.

Méthode 1 : vecteurs directeurs. Les courbes $x\mapsto (x,1,h(x,1))$ et $y\mapsto (1,y,h(1,y))$ sont tracées sur $S$. Leurs vecteurs tangents en $(1,1,0)$ sont $$\left(1,0,\frac{\partial h}{\partial x}(1,1)\right)=(1,0,2),\left(0,1,\frac{\partial h}{\partial y}(1,1)\right)=(0,1,-2).$$ Ils sont non colinéaires et dirigent le plan tangent. Leur produit vectoriel $(1,0,2)\wedge (0,1,-2)=(-2,2,1)$ en est un vecteur normal.

Méthode 2 : surface de niveau. $S$ est la surface d'équation $g(x,y,z)=0$, avec $g(x,y,z)=z-h(x,y)$. Comme $\nabla g=(-2x,2y,1)$, on obtient $\nabla g(1,1,0)=(-2,2,1)\ne 0$, vecteur normal au plan tangent : on retrouve le même vecteur.

Équation. Le plan passe par $(1,1,0)$ et admet $(-2,2,1)$ pour normale : $-2(x-1)+2(y-1)+z=0$, soit $$2x-2y-z=0.$$ C'est aussi la formule $z=h(1,1)+2(x-1)-2(y-1)=2x-2y$. Ce plan contient l'origine, ce qui n'est qu'une coïncidence de valeurs.