Déterminer les extremums de f(x, y) = x² + y² - 2x - 4y + 7 (point…

Points critiques. $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur l'ouvert ${\mathbb{R}}^2$, donc un extremum local ne peut être atteint qu'en un point critique. Or $$\nabla f(x,y)=(2x-2,2y-4)=(0,0)⟺(x,y)=(1,2).$$

Nature. La hessienne est constante, $H_f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2I_2$, de valeurs propres $2>0$ : elle appartient à ${\mathcal{S}}_2^{++}(\mathbb{R})$, et $(1,2)$ est un minimum local strict, de valeur $f(1,2)=1+4-2-8+7=2$.

Caractère global. La mise sous forme canonique donne $$f(x,y)=(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+2\ge 2,$$ avec égalité si et seulement si $(x,y)=(1,2)$. Le minimum est donc global strict, égal à $2$. Il n'y a pas de maximum : $f(x,y)\to +\infty$ quand $\Vert (x,y)\Vert \to +\infty$.

Interprétation. $f(x,y)-2$ est le carré de la distance euclidienne de $(x,y)$ au point $(1,2)$ : les lignes de niveau sont des cercles centrés en $(1,2)$, et le graphe est un paraboloïde de révolution de sommet $(1,2,2)$.