Étude complète d'une fonction de deux variables

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PSI), chapitre 10 — Calcul Différentiel et Optimisation · Niveau ★★★ — approfondissement

Énoncé

Déterminer les extremums locaux et globaux de $f (x, y) = x^{3} + y^{3} - 3 x y$ sur $R^{2}$ .

Corrigé

Points critiques : $\nabla f = (3 x^{2} - 3 y, 3 y^{2} - 3 x) = 0$ donne $y = x^{2}$ et $x = y^{2}$ , donc $x = x^{4}$ , soit $x \in {0, 1}$ : points critiques $(0, 0)$ et $(1, 1)$ . Hessienne : $H_{f} (x, y) = (6 x - 3 - 3 6 y)$ . En $(1, 1)$ : $det H = 36 - 9 = 27 > 0$ et $tr H = 12 > 0$ : minimum local strict, de valeur $f (1, 1) = - 1$ . En $(0, 0)$ : $det H = - 9 < 0$ : point selle, pas d'extremum. Global : $f (x, 0) = x^{3} \to \pm \infty$ : $f$ n'est ni minorée ni majorée — aucun extremum global. (Le déroulé canonique : gradient, hessienne, trace/déterminant, puis un regard global — un minimum local peut très bien coexister avec une fonction non minorée.)

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.