La relation d'Euler des fonctions homogènes

Stratégie : dériver la même quantité par deux chemins. On fabrique une fonction d'une seule variable réelle, $\phi (t)=f(tx)$, et on la dérive en $t=1$ de deux façons : par la règle de la chaîne d'un côté, par l'hypothèse d'homogénéité de l'autre. L'unicité de la dérivée identifie les deux résultats — c'est ainsi qu'une identité fonctionnelle devient une identité différentielle.

Fixons $x\in {\mathbb{R}}^n\setminus \{0\}$ et posons

$$\phi :]0,+\infty [⟶\mathbb{R},\phi (t)=f(tx).$$

1. $\phi$ est bien définie et dérivable. Pour $t>0$, on a $tx\ne 0$ (car $x\ne 0$ et $t\ne 0$), donc $tx$ appartient bien à ${\mathbb{R}}^n\setminus \{0\}$, le domaine de $f$. L'application $\gamma :t\mapsto tx$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ de $]0,+\infty [$ dans ${\mathbb{R}}^n$, avec ${\gamma }^{\prime }(t)=x$ (elle est linéaire en $t$). Comme $f$ est différentiable, la règle de la chaîne donne la dérivabilité de $\phi =f\circ \gamma$ et

$${\phi }^{\prime }(t)=\mathrm{d}f(\gamma (t))\cdot {\gamma }^{\prime }(t)=\mathrm{d}f(tx)\cdot x,\text{en particulier}{\phi }^{\prime }(1)=\mathrm{d}f(x)\cdot x.$$

2. La seconde lecture. L'homogénéité donne $\phi (t)=t^{\alpha }f(x)$ pour tout $t>0$, où $f(x)$ est une constante ($x$ est fixé). Cette fonction de $t$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ et

$${\phi }^{\prime }(t)=\alpha t^{\alpha -1}f(x),\text{en particulier}{\phi }^{\prime }(1)=\alpha f(x).$$

3. Identification. La dérivée d'une fonction en un point est unique : les deux calculs portent sur la même $\phi$ au même point $t=1$, donc

$$\boxed{\mathrm{d}f(x)\cdot x=\alpha f(x)}\text{pour tout }x\in {\mathbb{R}}^n\setminus \{0\}.$$

Si de plus $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, le gradient existe et la relation s'écrit

$$⟨\nabla f(x),x⟩=\sum _{i=1}^n{x}_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)=\alpha f(x).$$

Le point délicat est de ne pas dériver l'identité $f(tx)=t^{\alpha }f(x)$ « par rapport à $x$ » : c'est en $t$, à $x$ fixé, que la dérivation est licite et informative.

4. Lecture géométrique — et elle se calcule. Écrivons $x=\Vert x\Vert u$ avec $u=x/\Vert x\Vert$ unitaire. La relation devient

$$⟨\nabla f(x),u⟩=\frac{\alpha f(x)}{\Vert x\Vert }:$$

la composante radiale du gradient est entièrement déterminée par $f$ et le degré, sans autre information. Cas particulier $\alpha =0$ (une fonction homogène de degré $0$ est constante sur chaque demi-droite issue de l'origine) : on obtient $⟨\nabla f(x),x⟩=0$, c'est-à-dire que le gradient est orthogonal au rayon. Cette orthogonalité n'est pas une évidence de dessin : c'est le produit scalaire qu'on vient de calculer, et il vaut zéro.

Contrôle chiffré. Prenons $f(x,y)=x^3+2x{y}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$. Elle est homogène de degré $3$ : $f(tx,ty)=t^3{x}^3+2t^{3}x{y}^2=t^{3}f(x,y)$ — vérifié numériquement au point $(1,2)$ avec $t=2,5$ : $f(2,5;5)=15,625+125=140,625$ et $2,5^3\times f(1,2)=15,625\times 9=140,625$ ✓. La relation d'Euler prédit $⟨\nabla f,(x,y)⟩=3f$. En $(1,2)$ : $f(1,2)=1+8=9$, et $\nabla f=\left(3x^2+2y^2,4xy\right)=(11,8)$, donc

$$⟨\nabla f(1,2),(1,2)⟩=11\times 1+8\times 2=27=3\times 9✓$$

Contre-épreuve : $g(x,y)=x^3+y^2$ n'est homogène d'aucun degré. En $(1,2)$ : $g=5$, $\nabla g=(3x^2,2y)=(3,4)$ et $⟨\nabla g,(1,2)⟩=3+8=11$, soit un rapport $\frac{11}{5}=2,2$ ; en $(2,1)$ : $g=9$, $\nabla g=(12,2)$ et $⟨\nabla g,(2,1)⟩=24+2=26$, soit un rapport $\frac{26}{9}=2,889$. Les deux rapports diffèrent : aucun $\alpha$ constant ne convient, comme il se doit.

Ce qui est acquis. Toute identité de la forme $f(tx)=h(t)f(x)$ se dérive en $t$ ; et la relation d'Euler dit qu'une fonction homogène ne contient, dans sa dérivée radiale, aucune information nouvelle.