Les polynômes harmoniques homogènes de degré 2

Stratégie : un problème linéaire de dimension finie. Un polynôme homogène de degré $2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ a exactement trois coefficients, et l'équation de Laplace $\Delta P=0$ est une équation linéaire portant sur ces trois nombres. On la résout, on identifie l'espace des solutions, puis on reconnaît d'où viennent ses générateurs.

1. La forme générale. Les monômes de degré total $2$ en $(x,y)$ sont $x^2$, $xy$ et $y^2$ : tout polynôme homogène de degré $2$ s'écrit de façon unique

$$P(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2,(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3.$$

$P$ est polynomiale, donc de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur ${\mathbb{R}}^2$, et son laplacien est défini partout.

2. Le laplacien. $\frac{\partial P}{\partial x}=2ax+by$, donc $\frac{{\partial }^{2}P}{\partial x^2}=2a$ ; et $\frac{\partial P}{\partial y}=bx+2cy$, donc $\frac{{\partial }^{2}P}{\partial y^2}=2c$. Ainsi

$$\Delta P=\frac{{\partial }^{2}P}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}P}{\partial y^2}=2a+2c\text{(une constante)}.$$

$P$ est harmonique, c'est-à-dire $\Delta P=0$ sur tout ${\mathbb{R}}^2$, si et seulement si $a+c=0$, soit $c=-a$.

3. L'ensemble des solutions. Donc

$$P\text{ harmonique}⟺P(x,y)=a\left(x^2-y^2\right)+bxy,(a,b)\in {\mathbb{R}}^2.$$

Réciproquement les deux générateurs conviennent : $\Delta (x^2-y^2)=2-2=0$ et $\Delta (xy)=0+0=0$. Ils ne sont pas colinéaires — leurs coordonnées $(1,0,-1)$ et $(0,1,0)$ dans la base $(x^2,xy,y^2)$ sont visiblement indépendantes. L'ensemble cherché est donc un plan vectoriel :

$${\mathcal{H}}_2=\mathrm{Vect}\left(x^2-y^2,xy\right),\dim {\mathcal{H}}_2=2.$$

C'est cohérent avec la structure : $P\mapsto \Delta P$ est une forme linéaire non nulle sur l'espace de dimension $3$ des polynômes homogènes de degré $2$, donc son noyau est un hyperplan, de dimension $3-1=2$.

4. D'où viennent ces deux générateurs. Posons $z=x+\mathrm{i}y$. Alors

$$z^2=(x+\mathrm{i}y{)}^2=\left(x^2-y^2\right)+\mathrm{i}(2xy),$$

donc $x^2-y^2=\mathrm{Re}(z^2)$ et $xy=\frac{1}{2}\mathrm{Im}(z^2)$ : les deux générateurs sont exactement les parties réelle et imaginaire de $z^2$.

Ce n'est pas un accident. À $y$ fixé, $x\mapsto (x+\mathrm{i}y{)}^n$ est un polynôme à coefficients complexes en la variable réelle $x$, et de même à $x$ fixé ; la dérivation partielle étant $\mathbb{R}$-linéaire, elle agit séparément sur les parties réelle et imaginaire, et

$$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}(x+\mathrm{i}y{)}^n=n(n-1)(x+\mathrm{i}y{)}^{n-2},\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}(x+\mathrm{i}y{)}^n={\mathrm{i}}^{2}n(n-1)(x+\mathrm{i}y{)}^{n-2}.$$

Comme ${\mathrm{i}}^2=-1$, la somme est nulle : $\mathrm{Re}(z^n)$ et $\mathrm{Im}(z^n)$ sont harmoniques pour tout $n$. Les puissances complexes fabriquent ainsi les polynômes harmoniques homogènes de tout degré (et l'on obtiendrait de même un plan en degré $n\ge 1$).

Contrôle chiffré — la propriété de la moyenne. Une fonction harmonique a, en tout point, une valeur égale à sa moyenne sur n'importe quel cercle centré en ce point. C'est un test numérique décisif, et il distingue les harmoniques des autres. Centre $(0,7;-1,3)$, rayon $r=0,4$, moyenne calculée sur $200000$ points régulièrement répartis :

$P$	$\Delta P$	moyenne sur le cercle	$P$ au centre
$x^2-y^2$	$0$	$-1,2000000000$	$-1,2$
$xy$	$0$	$-0,9100000000$	$-0,91$
$3(x^2-y^2)-5xy$	$0$	$0,9500000000$	$0,95$
$x^2+y^2$	$4$	$2,3400000000$	$2,18$

Les trois premiers coïncident à $10^{-15}$ près ; le quatrième, non harmonique, s'écarte de $0,16$ — soit exactement $r^2$, comme le confirme le calcul direct : la moyenne de $x^2+y^2$ sur le cercle de centre $(x_0,y_0)$ et de rayon $r$ vaut $x_0^2+y_0^2+r^2$ (les termes en $\cos \theta$ et $\sin \theta$ sont de moyenne nulle, et ${\cos }^2+{\sin }^2=1$). La condition $\Delta P=0$ n'est donc pas une formalité d'écriture : elle se voit numériquement.

Ce qui est acquis. Sur les polynômes homogènes de degré fixé, l'équation de Laplace est un simple système linéaire ; et les harmoniques du plan sont les parties réelle et imaginaire des puissances de $x+\mathrm{i}y$ — un pont entre calcul différentiel et nombres complexes.