Soit f(x, y) = xy et γ(t) = (cos t, sin t). Calculer (f ∘ γ)'(t) de…

Directement. $(f\circ \gamma )(t)=\cos t\sin t=\frac{1}{2}\sin (2t)$, donc $$(f\circ \gamma {)}^{\prime }(t)=\cos (2t).$$

Par la règle de la chaîne. $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, avec $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x$, et ${\gamma }^{\prime }(t)=(-\sin t,\cos t)$. Alors $$(f\circ \gamma {)}^{\prime }(t)=\mathrm{d}{f}_{\gamma (t)}({\gamma }^{\prime }(t))=\frac{\partial f}{\partial x}(\gamma (t))x^{\prime }(t)+\frac{\partial f}{\partial y}(\gamma (t))y^{\prime }(t)=\sin t\cdot (-\sin t)+\cos t\cdot \cos t.$$ On obtient ${\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t=\cos (2t)$, et les deux calculs concordent. Sous forme de gradient, c'est $⟨\nabla f(\gamma (t)),{\gamma }^{\prime }(t)⟩$.

Lecture géométrique. La dérivée s'annule pour $t\equiv \frac{\pi }{4}\left[\frac{\pi }{2}\right]$, c'est-à-dire aux points du cercle où le gradient $\nabla f=(y,x)$ est orthogonal à la vitesse ${\gamma }^{\prime }$, donc normal au cercle. Ce sont les points $\left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}},\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$, où $f$ restreinte au cercle atteint ses extremums $\pm \frac{1}{2}$.