Calculer les fonctions génératrices des lois B(p), B(n, p), G(p)…

On note $G_X(t)=E\left(t^X\right)={\sum }_{k\ge 0}P(X=k)t^k$ et $q=1-p$.

1) Bernoulli $\mathcal{B}(p)$. $G_X(t)=q+pt$, pour tout réel $t$.

2) Binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. Par la formule du binôme, $$G_X(t)=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)(pt{)}^k{q}^{n-k}=(q+pt{)}^n,$$ pour tout réel $t$. C'est la puissance $n$-ième du cas précédent, car une binomiale est la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes.

3) Géométrique $\mathcal{G}(p)$. Pour $|t|<\frac{1}{q}$, $$G_X(t)=\sum _{k\ge 1}{q}^{k-1}p{t}^k=pt\sum _{k\ge 1}(qt{)}^{k-1}=\frac{pt}{1-qt}.$$

4) Poisson $\mathcal{P}(\lambda )$. Pour tout réel $t$, $$G_X(t)=\sum _{k\ge 0}{e}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}{t}^k=e^{-\lambda }{e}^{\lambda t}=e^{\lambda (t-1)}.$$

Moments de la binomiale. $G_X$ est un polynôme, donc $E(X)=G_X^{\prime }(1)$ et $E(X(X-1))=G_X^{\prime \prime }(1)$. Comme $q+p=1$ : $$G_X^{\prime }(t)=np(q+pt{)}^{n-1},E(X)=G_X^{\prime }(1)=np;$$ $$G_X^{\prime \prime }(t)=n(n-1)p^2(q+pt{)}^{n-2},G_X^{\prime \prime }(1)=n(n-1)p^2.$$ D'où $$V(X)=G_X^{\prime \prime }(1)+G_X^{\prime }(1)-G_X^{\prime }(1{)}^2=n(n-1)p^2+np-n^2{p}^2=np-n{p}^2=npq.$$

Contrôle : dans les quatre cas, $G_X(1)=1$, puisque la somme des probabilités vaut $1$.