Combien de lancers pour estimer une pièce ?

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PSI), chapitre 11 — Espaces Probabilisés et Variables Aléatoires Discrètes · Niveau ★★★ — approfondissement

Énoncé

On lance $n$ fois une pièce de paramètre $p$ inconnu et l'on note $F_{n} = \frac{S _{n}}{n}$ la fréquence de piles. Montrer que $P (∣ F_{n} - p ∣ \geq ε) \leq \frac{1}{4 n ε ^{2}},$ puis déterminer un nombre de lancers garantissant $∣ F_{n} - p ∣ < 0, 01$ avec probabilité au moins $95 %$ .

Corrigé

$S_{n}$ est une somme de $n$ Bernoulli i.i.d. : $E (F_{n}) = p$ et $V (F_{n}) = \frac{p ( 1 - p )}{n}$ . Bienaymé-Tchebychev donne $P (∣ F_{n} - p ∣ \geq ε) \leq \frac{p ( 1 - p )}{n ε ^{2}} \leq \frac{1}{4 n ε ^{2}},$ car $p (1 - p) \leq \frac{1}{4}$ (trinôme maximal en $p = \frac{1}{2}$ ) — borne valable sans connaître $p$ , c'est tout son intérêt. Pour $ε = 0, 01$ et un risque $\leq 0, 05$ : il suffit que $\frac{1}{4 n \times 1 0 ^{- 4}} \leq 0, 05$ , soit $n \geq \frac{1 0 ^{4}}{4 \times 0 , 05} = 50000$ . (Une inégalité de concentration : explicite, non asymptotique, mais grossière — les inégalités exponentielles type Hoeffding, hors programme, donnent des $n$ bien plus petits.)

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.