Construire une probabilité sur N

Exercice de TD · niveau 1 (application) · mathématiques (PSI), chapitre 11 — Espaces Probabilisés et Variables Aléatoires Discrètes · Niveau ★ — application directe du cours

Énoncé

Vérifier que $p_{k} = \frac{1}{2 ^{k + 1}}$ ( $k \in N$ ) définit une distribution de probabilités sur $N$ , et calculer la probabilité de l'ensemble des entiers pairs.

Corrigé

$\sum_{k \geq 0} \frac{1}{2 ^{k + 1}} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$ : distribution. Par sommation par paquets sur les pairs : $P (2 N) = j \geq 0 \sum \frac{1}{2 ^{2 j + 1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2}{3} .$ (Et $P (impairs) = \frac{1}{3}$ : les pairs sont favorisés car la distribution décroît — $0$ pèse déjà $\frac{1}{2}$ .)

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