La loi des petits nombres

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PSI), chapitre 11 — Espaces Probabilisés et Variables Aléatoires Discrètes · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

Énoncé

Soit $λ > 0$ et, pour $n > λ$ , $X_{n} \sim B (n, \frac{λ}{n})$ . Montrer que pour tout $k \in N$ : $P (X_{n} = k) n \to \infty e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !} .$

Corrigé

À $k$ fixé : $P (X_{n} = k) = (k n) (\frac{λ}{n})^{k} (1 - \frac{λ}{n})^{n - k} = \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{n ^{k}} \cdot \frac{λ ^{k}}{k !} \cdot (1 - \frac{λ}{n})^{n - k} .$ Le premier facteur est un produit de $k$ termes tendant chacun vers $1$ ; le dernier vaut $e^{(n - k) l n (1 - λ / n)} \to e^{- λ}$ (car $(n - k) ln (1 - \frac{λ}{n}) \sim - λ$ ). D'où la limite $e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !}$ . (Beaucoup d'essais, chacun rare, en moyenne $λ$ succès : la binomiale devient Poisson. C'est le fondement pratique de la modélisation poissonienne des comptages.)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.