Le minimum de géométriques indépendantes

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PSI), chapitre 11 — Espaces Probabilisés et Variables Aléatoires Discrètes · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

Énoncé

Soient $X \sim G (p)$ et $Y \sim G (p^{'})$ indépendantes. Montrer que $Z = min (X, Y)$ suit une loi géométrique, de paramètre $1 - (1 - p) (1 - p^{'})$ .

Corrigé

Le réflexe : passer par les queues, qui se factorisent par indépendance : $P (Z > n) = P (X > n, Y > n) = P (X > n) P (Y > n) = [(1 - p) (1 - p^{'})]^{n} .$ Les queues caractérisent la loi sur $N^{*}$ ( $P (Z = k) = P (Z > k - 1) - P (Z > k)$ ) : $Z$ est géométrique de raison $(1 - p) (1 - p^{'})$ , donc de paramètre $1 - (1 - p) (1 - p^{'})$ . (Interprétation : deux pièces lancées en parallèle, le premier succès de l'ensemble arrive selon une géométrique dont l'échec exige l'échec des deux. Le minimum se traite par les queues — jamais par les $P (Z = k)$ directement.)

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.