Le minimum de géométriques indépendantes

Le réflexe : passer par les queues, qui se factorisent par indépendance : $$P(Z>n)=P(X>n,Y>n)=P(X>n)P(Y>n)=[(1-p)(1-p^{\prime }){]}^n.$$ Les queues caractérisent la loi sur ${\mathbb{N}}^{\ast }$ ($P(Z=k)=P(Z>k-1)-P(Z>k)$) : $Z$ est géométrique de raison $(1-p)(1-p^{\prime })$, donc de paramètre $1-(1-p)(1-p^{\prime })$. (Interprétation : deux pièces lancées en parallèle, le premier succès de l'ensemble arrive selon une géométrique dont l'échec exige l'échec des deux. Le minimum se traite par les queues — jamais par les $P(Z=k)$ directement.)