Le retour en zéro de la marche aléatoire simple

Stratégie : trois étapes indépendantes. Un dénombrement donne la probabilité exacte, la formule de Stirling en donne un équivalent, et une série de Riemann en donne la nature. La quatrième étape n'est qu'une relecture : la divergence de la série se traduit en « nombre moyen de retours infini ».

1. La probabilité exacte. Posons $U=\#\{i\in [[1,2n]]:X_i=+1\}$ le nombre de pas montants parmi les $2n$ premiers. Comme il y a $2n-U$ pas descendants,

$$S_{2n}=U-(2n-U)=2U-2n,\text{donc}(S_{2n}=0)=(U=n).$$

Les $X_i$ étant indépendantes et uniformes sur $\{-1,+1\}$, $U$ compte les succès de $2n$ épreuves indépendantes de même probabilité $\frac{1}{2}$ : $U\sim \mathcal{B}\left(2n,\frac{1}{2}\right)$. Donc

$$P(S_{2n}=0)=P(U=n)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^n{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)2^{-2n}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)4^{-n}.$$

(Lecture « chemins » de la même formule : les $2^{2n}$ suites de signes sont équiprobables, chacune de probabilité $4^{-n}$ ; revenir en $0$ exige exactement $n$ montées parmi $2n$ pas, et il y a $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$ façons de choisir lesquelles.)

2. L'équivalent, par la formule de Stirling. $n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$ (chapitre 5). Donc

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)=\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}\sim \frac{\sqrt{4\pi n}{\left(\frac{2n}{e}\right)}^{2n}}{2\pi n{\left(\frac{n}{e}\right)}^{2n}}=\frac{2\sqrt{\pi n}}{2\pi n}\cdot 2^{2n}=\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}},$$

en utilisant ${\left(\frac{2n}{e}\right)}^{2n}=2^{2n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^{2n}$ et $\sqrt{4\pi n}=2\sqrt{\pi n}$. Par produit d'équivalents (le facteur $4^{-n}$ est non nul) :

$$P(S_{2n}=0)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)4^{-n}\sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}.$$

3. La série diverge. Les deux suites $\left(P(S_{2n}=0)\right)$ et $\left(\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\right)$ sont positives et équivalentes : leurs séries sont donc de même nature (règle de comparaison des séries à termes positifs, chapitre 6). Or

$$\sum _{n\ge 1}\frac{1}{\sqrt{\pi n}}=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^{1/2}}$$

diverge (série de Riemann d'exposant $\frac{1}{2}\le 1$). Donc

$$\sum _{n\ge 1}P(S_{2n}=0)=+\infty .$$

4. Lecture : le nombre moyen de retours. Pour $N\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, soit $R_N={\sum }_{n=1}^N{1}_{(S_{2n}=0)}$ le nombre de retours en $0$ aux $N$ premiers instants pairs. Par linéarité de l'espérance (somme finie) :

$$E(R_N)=\sum _{n=1}^{N}P(S_{2n}=0)\underset{N\to +\infty }{\to }+\infty .$$

Le nombre moyen de passages par l'origine avant l'instant $2N$ tend vers l'infini : la marche ne s'échappe pas, elle revient sans cesse. La croissance est lente — en $\sqrt{N}$, comme le montre la comparaison série-intégrale : $E(R_N)\sim 2\sqrt{N/\pi }$.

Contrôle chiffré. D'abord l'équivalent :

$n$	$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)4^{-n}$	$1/\sqrt{\pi n}$	rapport
$1$	$0,5000000000$	$0,5641895835$	$0,886227$
$10$	$0,1761970520$	$0,1784124116$	$0,987583$
$100$	$0,0563484790$	$0,0564189584$	$0,998751$
$1000$	$0,0178390111$	$0,0178412412$	$0,999875$

Le rapport tend vers $1$, et l'écart relatif est divisé par $10$ quand $n$ est multiplié par $10$ : il vaut $1,24\times 10^{-2}$, $1,25\times 10^{-3}$, $1,25\times 10^{-4}$, c'est-à-dire $\frac{1}{8n}$ — le terme suivant du développement. L'équivalent est donc confirmé, et pas seulement plausible. Vérification directe pour $n=1$ : $S_2=0$ signifie un pas $+1$ et un pas $-1$, soit $2$ suites sur $4$, donc $P=\frac{1}{2}$, et $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1}\right)4^{-1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ ✓.

Ensuite la divergence, sur les sommes partielles ${\Sigma }_N={\sum }_{n=1}^{N}P(S_{2n}=0)$ :

$N$	${\Sigma }_N$	$2\sqrt{N/\pi }$
$10$	$2,700$	$3,568$
$100$	$10,326$	$11,284$
$1000$	$34,696$	$35,682$
$10000$	$111,842$	$112,838$

Les sommes partielles croissent bien comme $\sqrt{N}$ (multiplier $N$ par $10$ multiplie ${\Sigma }_N$ par environ $3,2\approx \sqrt{10}$) et l'écart avec $2\sqrt{N/\pi }$ reste borné, autour de $1$ : aucune limite finie ✓.

Ce qui est acquis. Le calcul exact d'une probabilité par dénombrement, l'usage de Stirling pour en tirer un équivalent, et la traduction probabiliste d'une divergence de série. La marche aléatoire simple sur $\mathbb{Z}$ revient à l'origine un nombre moyen de fois infini — un résultat qui, en dimension $3$, devient faux, la série correspondante convergeant.