Méthode du second moment : minorer P(X>0)

Stratégie : une inégalité de Cauchy-Schwarz bien choisie. Toute la finesse tient dans l'écriture $X=X{1}_{(X>0)}$, exacte parce que $X\ge 0$. Elle fait entrer en scène l'indicatrice, dont le carré est elle-même — et dont le moment d'ordre $2$ est donc précisément la probabilité cherchée.

Hypothèses : $X\ge 0$, $X\in L^2$ (c'est-à-dire $E(X^2)<+\infty$), et $X$ n'est pas presque sûrement nulle.

0. Préliminaire : $E(X)$ existe. Cauchy-Schwarz appliquée à $X$ et à la variable constante $1$ donne $E(X{)}^2=E(X\cdot 1{)}^2\le E(X^2)E(1^2)=E(X^2)<+\infty$ : $X$ est d'espérance finie. (C'est l'inclusion $L^2\subset L^1$, à laquelle on ne pense pas toujours à faire référence.)

1. L'écriture exacte. Posons $Z=1_{(X>0)}$. Alors, en tout point $\omega$ de l'univers :

$$X=XZ.$$

En effet : si $X(\omega )>0$, alors $Z(\omega )=1$ et l'égalité est claire ; si $X(\omega )=0$, les deux membres sont nuls. C'est ici — et seulement ici — que la positivité de $X$ sert : sans elle, $(X\ne 0)$ ne serait pas $(X>0)$.

2. Cauchy-Schwarz. $X\in L^2$ par hypothèse, et $Z\in L^2$ car $Z$ est bornée par $1$, donc $E(Z^2)\le 1<+\infty$. Le théorème du cours donne

$$E(XZ{)}^2\le E(X^2)E(Z^2).$$

Or $E(XZ)=E(X)$ d'après le 1, et $Z^2=Z$ puisque $Z$ est une indicatrice, donc $E(Z^2)=E(Z)=P(X>0)$. Il vient

$$E(X{)}^2\le E(X^2)P(X>0).$$

3. Conclusion. $X$ étant positive et non presque sûrement nulle, il existe une valeur $a>0$ prise avec probabilité non nulle, donc $E(X^2)\ge a^{2}P(X=a)>0$ : on peut diviser, et

$$P(X>0)\ge \frac{E(X{)}^2}{E(X^2)}.$$

4. La borne est optimale. Le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz demande $X$ et $Z$ colinéaires (presque sûrement), c'est-à-dire $X=c{1}_{(X>0)}$ : $X$ ne prend que les deux valeurs $0$ et $c>0$. Vérification directe sur $X=c{1}_A$ avec $P(A)=\pi$ : $E(X)=c\pi$ et $E(X^2)=c^2\pi$, donc

$$\frac{E(X{)}^2}{E(X^2)}=\frac{c^2{\pi }^2}{c^2\pi }=\pi =P(X>0):\text{eˊgaliteˊ}.$$

Aucune amélioration de la constante n'est donc possible.

5. L'encadrement complet, premier et second moment. Si de plus $X$ est à valeurs entières, alors $(X>0)=(X\ge 1)$ et l'inégalité de Markov donne $P(X\ge 1)\le E(X)$. On obtient l'encadrement

$$\frac{E(X{)}^2}{E(X^2)}\le P(X>0)\le E(X).$$

Le premier moment majore, le second minore : c'est la paire d'outils standard pour encadrer la probabilité d'un événement d'existence.

Contrôle chiffré. Prenons $X\sim \mathcal{P}(\lambda )$, à valeurs entières positives : $E(X)=\lambda$ et $E(X^2)=V(X)+E(X{)}^2=\lambda +{\lambda }^2$, donc la borne vaut $\frac{{\lambda }^2}{\lambda +{\lambda }^2}=\frac{\lambda }{1+\lambda }$, à comparer à $P(X>0)=1-e^{-\lambda }$ :

$\lambda$	borne $\frac{\lambda }{1+\lambda }$	$P(X>0)=1-e^{-\lambda }$	Markov : $E(X)=\lambda$
$0,1$	$0,090909$	$0,095163$	$0,1$
$1$	$0,500000$	$0,632121$	$1$
$5$	$0,833333$	$0,993262$	$5$

L'encadrement est vérifié dans les trois cas. Il est serré quand $\lambda$ est petit : pour $\lambda =0,1$, la minoration $0,090909$ encadre $0,095163$ à $4,5\%$, et la majoration de Markov donne $0,1$ — soit un encadrement à $10\%$ près d'une probabilité qu'on n'aurait pas su calculer autrement. C'est précisément le régime où la méthode sert : celui des événements rares dont on veut prouver qu'ils ont malgré tout une chance de se produire. Pour $\lambda =5$, en revanche, la borne de Markov devient vide ($5\ge 1$).

Ce qui est acquis. La méthode du second moment : pour minorer $P(X>0)$, on ne calcule pas la loi de $X$, on calcule ses deux premiers moments. C'est l'outil de base pour prouver l'existence d'un objet aléatoire — un chemin dans un graphe, une configuration, un motif — sans le construire.