Retrouver E(X) et V(X) pour X ∼ G(p) par dérivation de la série…

Soit $X\sim \mathcal{G}(p)$, $q=1-p\in [0,1[$, $P(X=k)=q^{k-1}p$ pour $k\ge 1$. La série entière $\sum x^k$ a pour rayon $1$ ; on peut la dériver terme à terme sur $]-1,1[$ : $$\sum _{k\ge 0}{x}^k=\frac{1}{1-x},\sum _{k\ge 1}k{x}^{k-1}=\frac{1}{(1-x{)}^2},\sum _{k\ge 2}k(k-1)x^{k-2}=\frac{2}{(1-x{)}^3}.$$

Espérance. La série $\sum kP(X=k)$ converge (absolument, ses termes étant positifs), donc $X$ admet une espérance : $$E(X)=\sum _{k\ge 1}k{q}^{k-1}p=\frac{p}{(1-q{)}^2}=\frac{p}{p^2}=\frac{1}{p}.$$

Moment factoriel. Par le théorème de transfert, $$E(X(X-1))=\sum _{k\ge 2}k(k-1)q^{k-1}p=pq\sum _{k\ge 2}k(k-1)q^{k-2}=\frac{2pq}{p^3}=\frac{2q}{p^2}.$$ Donc $X$ admet un moment d'ordre $2$, avec $E(X^2)=E(X(X-1))+E(X)=\frac{2q}{p^2}+\frac{1}{p}$.

Variance (Kœnig-Huygens). $$V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2=\frac{2q}{p^2}+\frac{p}{p^2}-\frac{1}{p^2}=\frac{2q+p-1}{p^2}=\frac{q}{p^2}.$$

Contrôle. Pour $p=\frac{1}{2}$, on trouve $E(X)=2$ et $V(X)=2$ : il faut en moyenne deux lancers d'une pièce équilibrée pour obtenir le premier pile.