Soit X ∼ G(p). Déterminer la loi de Y = min (X, 3) (transfert de la…

On note $q=1-p$, avec $p\in ]0,1[$, et l'on rappelle que $X(\Omega )={\mathbb{N}}^{\ast }$ et $P(X=k)=q^{k-1}p$. La variable $Y=\min (X,3)$ prend ses valeurs dans $\{1,2,3\}$.

Loi de $Y$.

• $(Y=1)=(X=1)$, donc $P(Y=1)=p$ ;
• $(Y=2)=(X=2)$, donc $P(Y=2)=qp$ ;
• $(Y=3)=(X\ge 3)$, et en sommant une série géométrique, $$P(Y=3)=\sum _{k=3}^{+\infty }{q}^{k-1}p=p\frac{q^2}{1-q}=q^2.$$ Ce résultat se lit aussi directement : $(X\ge 3)$ signifie que les deux premières épreuves sont des échecs.

Contrôle. $p+qp+q^2=p+q(p+q)=p+q=1$.

Espérance. $E(Y)=p+2qp+3q^2$. En remplaçant $p$ par $1-q$, on obtient $E(Y)=1+q+q^2$. On retrouve ce résultat par la formule $E(Y)={\sum }_{k\ge 1}P(Y\ge k)=1+q+q^2$. Il est inférieur à $E(X)=\frac{1}{p}=1+q+q^2+\cdots$, ce qui est attendu puisque $Y\le X$.