Somme de lois de Poisson et Fonction Génératrice

1. Par les fonctions génératrices : Pour une loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda )$, $G_X(t)={\sum }_{k=0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}{t}^k={\mathrm{e}}^{-\lambda }{\mathrm{e}}^{\lambda t}={\mathrm{e}}^{\lambda (t-1)}$. Comme $X_1\perp \perp X_2$ : $$G_S(t)=G_{X_1}(t)G_{X_2}(t)={\mathrm{e}}^{{\lambda }_1(t-1)}{\mathrm{e}}^{{\lambda }_2(t-1)}={\mathrm{e}}^{({\lambda }_1+{\lambda }_2)(t-1)}.$$ Par unicité de la fonction génératrice, on reconnaît immédiatement la loi de Poisson : $$S=X_1+X_2\sim \mathcal{P}({\lambda }_1+{\lambda }_2).$$

2. Par calcul direct (Produit de Cauchy) : L'événement $(S=n)$ se décompose selon le SCE $(X_1=k{)}_{0\le k\le n}$ : $$P(S=n)=\sum _{k=0}^{n}P(X_1=k\text{ et }{X}_2=n-k)=\sum _{k=0}^{n}P(X_1=k)P(X_2=n-k)$$ $$=\sum _{k=0}^n\left({\mathrm{e}}^{-{\lambda }_1}\frac{{\lambda }_1^k}{k!}\right)\left({\mathrm{e}}^{-{\lambda }_2}\frac{{\lambda }_2^{n-k}}{(n-k)!}\right)={\mathrm{e}}^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}\frac{1}{n!}\sum _{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}{\lambda }_1^k{\lambda }_2^{n-k}$$ $$={\mathrm{e}}^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}\frac{1}{n!}({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^n.$$ On retrouve bien $S\sim \mathcal{P}({\lambda }_1+{\lambda }_2)$.

3. Loi conditionnelle de $X_1$ sachant $(S=n)$ : Pour tout $k\in [[0,n]]$ : $$P(X_1=k\mid S=n)=\frac{P(X_1=k\text{ et }{X}_2=n-k)}{P(S=n)}=\frac{{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_1}\frac{{\lambda }_1^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_2}\frac{{\lambda }_2^{n-k}}{(n-k)!}}{{\mathrm{e}}^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}\frac{({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^n}{n!}}$$ $$=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\frac{{\lambda }_1^k{\lambda }_2^{n-k}}{({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^n}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right){\left(\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}\right)}^k{\left(\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}\right)}^{n-k}.$$ En posant $p=\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}\in ]0,1[$, on reconnaît la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ : $$(X_1\mid S=n)\sim \mathcal{B}\left(n,\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}\right).$$