Somme de lois de Poisson et Fonction Génératrice

1. Par les fonctions génératrices : Pour une loi de Poisson $P (λ)$ , $G_{X} (t) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !} t^{k} = e^{- λ} e^{λ t} = e^{λ (t - 1)}$ . Comme $X_{1} ⊥ ⊥ X_{2}$ : $G_{S} (t) = G_{X_{1}} (t) G_{X_{2}} (t) = e^{λ_{1} (t - 1)} e^{λ_{2} (t - 1)} = e^{(λ_{1} + λ_{2}) (t - 1)} .$ Par unicité de la fonction génératrice, on reconnaît immédiatement la loi de Poisson : $S = X_{1} + X_{2} \sim P (λ_{1} + λ_{2}) .$

2. Par calcul direct (Produit de Cauchy) : L'événement $(S = n)$ se décompose selon le SCE $(X_{1} = k)_{0 \leq k \leq n}$ : $P (S = n) = k = 0 \sum n P (X_{1} = k et X_{2} = n - k) = k = 0 \sum n P (X_{1} = k) P (X_{2} = n - k)$ $= k = 0 \sum n (e^{- λ_{1}} \frac{λ _{1}^{k}}{k !}) (e^{- λ_{2}} \frac{λ _{2}^{n - k}}{( n - k )!}) = e^{- (λ_{1} + λ_{2})} \frac{1}{n !} k = 0 \sum n \frac{n !}{k ! ( n - k )!} λ_{1}^{k} λ_{2}^{n - k}$ $= e^{- (λ_{1} + λ_{2})} \frac{1}{n !} (λ_{1} + λ_{2})^{n} .$ On retrouve bien $S \sim P (λ_{1} + λ_{2})$ .

3. Loi conditionnelle de $X_{1}$ sachant $(S = n)$ : Pour tout $k \in [[0, n]]$ : $P (X_{1} = k ∣ S = n) = \frac{P ( X _{1} = k et X _{2} = n - k )}{P ( S = n )} = \frac{e ^{- λ_{1}} \frac{λ _{1}^{k}}{k !} e ^{- λ_{2}} \frac{λ _{2}^{n - k}}{( n - k )!}}{e ^{- (λ_{1} + λ_{2})} \frac{( λ _{1} + λ _{2} ) ^{n}}{n !}}$ $= (k n) \frac{λ _{1}^{k} λ _{2}^{n - k}}{( λ _{1} + λ _{2} ) ^{n}} = (k n) (\frac{λ _{1}}{λ _{1} + λ _{2}})^{k} (\frac{λ _{2}}{λ _{1} + λ _{2}})^{n - k} .$ En posant $p = \frac{λ _{1}}{λ _{1} + λ _{2}} \in] 0, 1 [$ , on reconnaît la loi binomiale $B (n, p)$ : $(X_{1} ∣ S = n) \sim B (n, \frac{λ _{1}}{λ _{1} + λ _{2}}) .$

Énoncé

Corrigé

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