Sommes aléatoires et génératrice composée

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PSI), chapitre 11 — Espaces Probabilisés et Variables Aléatoires Discrètes · Niveau ★★★ — approfondissement

Énoncé

Soit $(X_{i})_{i \geq 1}$ une suite i.i.d. à valeurs dans $N$ , et $N$ une variable à valeurs dans $N$ indépendante de la suite. On pose $S = X_{1} + \dots + X_{N}$ (avec $S = 0$ si $N = 0$ ). Montrer que $G_{S} = G_{N} \circ G_{X},$ et en déduire $E (S) = E (N) E (X_{1})$ lorsque $N$ et $X_{1}$ sont d'espérance finie (formule de Wald).

Corrigé

Probabilités totales sur le système quasi-complet $(N = n)_{n \in N}$ , puis indépendance et coalitions : $P (S = k) = n \geq 0 \sum P (N = n) P (X_{1} + \dots + X_{n} = k),$ d'où, pour $t \in [0, 1]$ , par sommation par paquets (tout est positif) et génératrice d'une somme indépendante : $G_{S} (t) = n \geq 0 \sum P (N = n) k \sum P (X_{1} + \dots + X_{n} = k) t^{k} = n \geq 0 \sum P (N = n) (G_{X} (t))^{n} = G_{N} (G_{X} (t)) .$ Espérance : $N$ et $X_{1}$ étant d'espérance finie, $G_{N}$ et $G_{X}$ sont dérivables en $1$ ; la composée $G_{S} = G_{N} \circ G_{X}$ l'est donc aussi ( $G_{X} (1) = 1$ ), et la règle de dérivation en chaîne donne $G_{S}^{'} (1) = G_{N}^{'} (G_{X} (1)) G_{X}^{'} (1) = E (N) E (X_{1})$ , soit $E (S) = E (N) E (X_{1}) .$ (Exemple : un standard reçoit $N \sim P (λ)$ appels, chacun durant $X_{i}$ minutes en moyenne $m$ : temps total moyen $λm$ . La composition $G_{N} \circ G_{X}$ est aussi le moteur des processus de branchement de Galton-Watson — population de la génération suivante $=$ somme aléatoire des enfants de chacun.)

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.