Calculer … pour …, …, B quelconque.

La matrice est triangulaire par blocs, avec des blocs diagonaux carrés $A$ et $D$ de taille $2$. Le déterminant d'une telle matrice est le produit des déterminants des blocs diagonaux, quel que soit le bloc $B$ : $$\det \left(\begin{array}{cc}A& B\\ 0& D\end{array}\right)=\det A\cdot \det D.$$ Ici $\det A=1\cdot 4-2\cdot 3=-2$, et $D$ est triangulaire, donc $\det D=5\cdot 7=35$. Le déterminant cherché vaut donc $-2\times 35=-70$, indépendamment de $B$.

Contrôle : la matrice $4\times 4$ est triangulaire par blocs, ses valeurs propres sont celles de $A$ et celles de $D$ ($5$ et $7$), et le produit des valeurs propres de $A$ vaut $\det A=-2$ : on retrouve $-2\cdot 5\cdot 7=-70$.