Commutant d'un endomorphisme diagonalisable

1. Stabilité : Si $u\circ v=v\circ u$, on a déjà prouvé que les $E_{\lambda }(u)$ sont stables par $v$. Réciproquement, comme $u$ est diagonalisable, $E={⨁}_{i=1}^p{E}_{{\lambda }_i}(u)$. Si chaque $E_{{\lambda }_i}(u)$ est stable par $v$, alors sur $E_{{\lambda }_i}(u)$, $u(x)={\lambda }_{i}x$, donc $(u\circ v)(x)=u(v(x))={\lambda }_{i}v(x)$ et $(v\circ u)(x)=v({\lambda }_{i}x)={\lambda }_{i}v(x)$. Comme $u\circ v$ et $v\circ u$ coïncident sur chaque sous-espace d'une somme directe égale à $E$, ils sont égaux sur $E$ tout entier.

2. Dimension du commutant : Un endomorphisme $v$ laisse stable chaque $E_{{\lambda }_i}(u)$ si et seulement si sa matrice dans une base adaptée de vecteurs propres est diagonale par blocs : $${\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(v)=\mathrm{diag}(V_1,V_2,\dots ,V_p),\text{avec }{V}_i\in {\mathcal{M}}_{m_i}(\mathbb{K}).$$ L'espace vectoriel des telles matrices a pour dimension : $$\dim \mathcal{C}(u)=\sum _{i=1}^p{m}_i^2.$$

3. Condition $\mathcal{C}(u)=\mathbb{K}[u]$ : On a toujours $\mathbb{K}[u]\subset \mathcal{C}(u)$. Comme $u$ est diagonalisable avec $p$ valeurs propres distinctes, le polynôme ${\prod }_{i=1}^p(X-{\lambda }_i)$ l'annule et aucun polynôme non nul de degré $<p$ ne l'annule, donc $\dim \mathbb{K}[u]=p$. Or ${\sum }_{i=1}^p{m}_i^2=p⟺\forall i\in [[1,p]],m_i=1$. Ainsi, $\mathcal{C}(u)=\mathbb{K}[u]$ si et seulement si $u$ possède $n$ valeurs propres distinctes ($p=n$).