Dans ℝ³, les trois droites engendrées par (1,0,0), (0,1,0) et (1,1,0)…

Réduction des Endomorphismes et des Matrices Carrées · niveau 1 (application)

Énoncé

Dans $R^{3}$ , les trois droites engendrées par $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ et $(1, 1, 0)$ sont deux à deux d'intersection nulle ; leur somme est-elle directe ?

Corrigé

Non. Notons $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ les trois droites, engendrées par $a = (1, 0, 0)$ , $b = (0, 1, 0)$ et $c = (1, 1, 0)$ . On a la relation $a + b - c = 0$ : le vecteur nul s'écrit $a + b + (- c)$ avec $a \in D_{1}$ , $b \in D_{2}$ , $- c \in D_{3}$ non tous nuls, ce qui contredit l'unicité de la décomposition. La somme $D_{1} + D_{2} + D_{3}$ n'est donc pas directe.

On le voit aussi sur les dimensions : les trois droites sont contenues dans le plan $z = 0$ , donc $dim (D_{1} + D_{2} + D_{3}) = 2 < 3 = dim D_{1} + dim D_{2} + dim D_{3}$ , alors qu'une somme directe aurait pour dimension la somme des dimensions.

À retenir. Pour deux sous-espaces, « intersection nulle » équivaut à « somme directe ». Dès trois sous-espaces, les intersections deux à deux nulles ne suffisent plus : il faut par exemple $D_{3} \cap (D_{1} + D_{2}) = {0}$ , ce qui échoue ici puisque $D_{3} \subset D_{1} + D_{2}$ .

Dans ℝ³, les trois droites engendrées par (1,0,0), (0,1,0) et (1,1,0)…

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