Déterminer les éléments propres de …, …, … (sur … puis sur …)

On calcule ${\chi }_M(X)=\det (X{I}_2-M)=X^2-\mathrm{tr}(M)X+\det M$, puis chaque sous-espace propre comme un noyau.

1) $M=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ : ${\chi }_M=X^2-2X-3=(X-3)(X+1)$, donc $\mathrm{Sp}(M)=\{3,-1\}$, sur $\mathbb{R}$ comme sur $\mathbb{C}$. $E_3=\ker (M-3I_2)=\mathrm{Vect}((1,1))$ et $E_{-1}=\ker (M+I_2)=\mathrm{Vect}((1,-1))$.

2) $N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ : ${\chi }_N=X^2$, donc $\mathrm{Sp}(N)=\{0\}$ sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$, et $E_0=\ker N=\mathrm{Vect}((1,0))$. Ce sous-espace propre est une droite, alors que la valeur propre est double.

3) $R=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ : ${\chi }_R=X^2+1$.

• Sur $\mathbb{R}$, ce polynôme n'a pas de racine : $R$ n'a aucune valeur propre réelle. C'est cohérent avec la géométrie : $R$ est la rotation d'angle $\frac{\pi }{2}$, qui ne laisse aucune droite stable.
• Sur $\mathbb{C}$, $\mathrm{Sp}(R)=\{i,-i\}$. On résout $R(x,y)=i(x,y)$, soit $-y=ix$ : $E_i=\mathrm{Vect}((1,-i))$. De même $E_{-i}=\mathrm{Vect}((1,i))$, conjugué du précédent puisque $R$ est réelle.

Vérification : $R\left(\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}i\\ 1\end{array}\right)=i\left(\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right)$.