Diagonaliser si possible

1) $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ : ${\chi }_A=(X-3)(X+1)$ a deux racines simples, donc $A$ est diagonalisable, avec $E_3=\mathrm{Vect}((1,1))$ et $E_{-1}=\mathrm{Vect}((1,-1))$. Avec $$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),A=P\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& -1\end{array}\right)P^{-1}.$$

2) $B=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$ : ${\chi }_B=X^2-4X+4=(X-2{)}^2$, donc $\mathrm{Sp}(B)=\{2\}$. Or $B-2I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$ est de rang $1$, donc $\dim E_2=1<2$ : $B$ n'est pas diagonalisable, ni sur $\mathbb{R}$ ni sur $\mathbb{C}$. Argument plus rapide : si $B$ était diagonalisable avec pour seule valeur propre $2$, elle serait semblable à $2I_2$, donc égale à $2I_2$, ce qui est faux.

3) $C=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ est triangulaire, de valeurs propres $1$ et $2$ distinctes : elle est diagonalisable. $E_1=\ker \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\mathrm{Vect}((1,0))$ et $E_2=\ker \left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=\mathrm{Vect}((1,1))$. Avec $$Q=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),C=Q\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)Q^{-1}.$$

Bilan : deux valeurs propres distinctes en dimension $2$ suffisent à diagonaliser ; une valeur propre double demande que le sous-espace propre soit de dimension $2$, ce qui échoue pour $B$.