La matrice compagnon d'un polynôme unitaire

Stratégie. Le calcul de $\det (X{I}_3-C)$ se fait par un développement selon la première ligne, qui ne comporte que deux termes non nuls. Le premier reproduit le même déterminant en dimension $2$, le second fournit la constante $a_0$ : la structure de récurrence apparaît immédiatement, et l'on en déduit le cas général.

1. Le calcul en dimension $3$. Avec la convention du cours (${\chi }_C$ unitaire, ${\chi }_C=\det (XI-C)$) : $$X{I}_3-C=\left(\begin{array}{ccc}X& 0& a_0\\ -1& X& a_1\\ 0& -1& X+a_2\end{array}\right).$$ Développons selon la première ligne. Le coefficient central étant nul, il ne reste que deux termes : $${\chi }_C=X\cdot \left|\begin{array}{cc}X& a_1\\ -1& X+a_2\end{array}\right|+(-1{)}^{1+3}{a}_0\cdot \left|\begin{array}{cc}-1& X\\ 0& -1\end{array}\right|.$$ Le premier mineur vaut $X(X+a_2)+a_1=X^2+a_{2}X+a_1$ ; le second, triangulaire, vaut $(-1)(-1)=1$. Donc $${\chi }_C=X(X^2+a_{2}X+a_1)+a_0=X^3+a_2{X}^2+a_{1}X+a_0.$$ C'est bien le polynôme unitaire annoncé, dont les coefficients se lisent directement dans la dernière colonne de $C$, au signe près.

2. Le cas général, par récurrence. Pour $P=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0$, la matrice compagnon $C_n(a_0,\dots ,a_{n-1})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ porte des $1$ sur la sous-diagonale et la colonne $-{}^t(a_0,\dots ,a_{n-1})$ en dernière position. Notons $D_n=\det (X{I}_n-C_n)$ et montrons $D_n=P$ par récurrence sur $n$.

• Initialisation, $n=1$ : $C_1=(-a_0)$ et $D_1=X+a_0$. $✓$
• Hérédité. Pour $n\ge 2$, la première ligne de $X{I}_n-C_n$ est $(X,0,\dots ,0,a_0)$. Le développement selon cette ligne donne deux termes.
• Terme $(1,1)$ : en supprimant la première ligne et la première colonne, il reste exactement $X{I}_{n-1}-C_{n-1}(a_1,\dots ,a_{n-1})$ (les $1$ sous-diagonaux se décalent, la dernière colonne devient $-{}^t(a_1,\dots ,a_{n-1})$). Sa contribution est $X{D}_{n-1}$.
• Terme $(1,n)$ : en supprimant la première ligne et la dernière colonne, il reste la matrice triangulaire inférieure de taille $n-1$ dont la diagonale ne comporte que des $-1$ ; son déterminant vaut $(-1{)}^{n-1}$. Sa contribution est $(-1{)}^{1+n}{a}_0(-1{)}^{n-1}=(-1{)}^{2n}{a}_0=a_0$.

D'où la relation de récurrence $$D_n=X{D}_{n-1}+a_0.$$ L'hypothèse de récurrence, appliquée au $(n-1)$-uplet $(a_1,\dots ,a_{n-1})$, donne $D_{n-1}=X^{n-1}+a_{n-1}{X}^{n-2}+\cdots +a_{2}X+a_1$, et donc $$D_n=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_2{X}^2+a_{1}X+a_0=P.✓$$

3. Conséquence. Tout polynôme unitaire de $\mathbb{K}[X]$ est le polynôme caractéristique d'une matrice explicite. Autrement dit, l'application « matrice $\mapsto$ polynôme caractéristique » est surjective sur les polynômes unitaires de degré $n$ : aucune contrainte cachée ne pèse sur ${\chi }_A$ au-delà de son degré et de son caractère unitaire. C'est ce qui interdit d'espérer un critère « de forme » sur les polynômes caractéristiques, et c'est aussi le procédé standard pour fabriquer, sur commande, une matrice de spectre imposé.

Contrôles chiffrés.

• $a_0=-1$, $a_1=a_2=0$ : la formule annonce ${\chi }_C=X^3-1$, et $C=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$ est la matrice de la permutation circulaire des trois vecteurs de base. On vérifie $C^3=I_3$ : $X^3-1$ annule bien $C$, conformément au théorème de Cayley-Hamilton. $✓$
• $a_0=-6$, $a_1=11$, $a_2=-6$ : la formule annonce ${\chi }_C=X^3-6X^2+11X-6=(X-1)(X-2)(X-3)$, donc un spectre $\{1,2,3\}$. Or $C=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 6\\ 1& 0& -11\\ 0& 1& 6\end{array}\right)$ a pour trace $0+0+6=6=1+2+3$ $✓$, et pour déterminant $\det C=(-1{)}^3{\chi }_C(0)=-(-6)=6=1\times 2\times 3$ $✓$ (on utilise ${\chi }_C(0)=\det (-C)=(-1{)}^3\det C$). Trois valeurs propres distinctes en dimension $3$ : cette matrice compagnon est diagonalisable.

Ce qui est acquis. Un développement selon une ligne creuse est presque toujours le bon geste, et il révèle ici une récurrence d'une ligne. Retenir la lecture : dans une matrice compagnon, la dernière colonne est le polynôme.