Racine carrée d'une matrice symétrique définie positive

1. Existence : Par le théorème spectral, $A$ est orthogonalement semblable à une matrice diagonale : il existe $P\in O_n(\mathbb{R})$ telle que $A=P\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)P^{\top }$ avec ${\lambda }_i>0$. Posons $D^{\prime }=\mathrm{diag}(\sqrt{{\lambda }_1},\dots ,\sqrt{{\lambda }_n})$ et $S=P{D}^{\prime }{P}^{\top }$. Alors $S^{\top }=(P{D}^{\prime }{P}^{\top }{)}^{\top }=P{D^{\prime }}^{\top }{P}^{\top }=P{D}^{\prime }{P}^{\top }=S$, donc $S$ est symétrique. De plus, ses valeurs propres sont les $(\sqrt{{\lambda }_i})>0$, et $S^2=P{D}^{\prime 2}{P}^{\top }=PD{P}^{\top }=A$.

2. Unicité : Soit $S$ une matrice symétrique à spectre strictement positif telle que $S^2=A$. Comme $S$ est symétrique réelle, $S$ est diagonalisable : $E={⨁}_{\mu \in \mathrm{Sp}(S)}{E}_{\mu }(S)$. Pour tout $x\in E_{\mu }(S)$, $Ax=S^{2}x={\mu }^{2}x$, donc $x\in E_{{\mu }^2}(A)$. Comme les $\mu >0$ sont deux à deux distincts, leurs carrés ${\mu }^2$ le sont aussi, d'où $E_{\mu }(S)=E_{{\mu }^2}(A)$. L'endomorphisme associé à $S$ coïncide donc nécessairement avec la multiplication par $\sqrt{\lambda }$ sur chaque sous-espace propre $E_{\lambda }(A)$, ce qui prouve l'unicité de $S$.