Retrouver par le critère algébrique que projecteurs (p² = p) et…

On utilise le critère : un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s'il est annulé par un polynôme scindé à racines simples ; de plus, toute valeur propre est racine de tout polynôme annulateur.

Projecteurs. $p^2=p$ signifie que $P=X^2-X=X(X-1)$ annule $p$. Ce polynôme est scindé, à racines simples $0$ et $1$ : $p$ est diagonalisable. Si $p(x)=\lambda x$ avec $x\ne 0$, alors $0=P(p)(x)=({\lambda }^2-\lambda )x$, donc $\lambda \in \{0,1\}$ : $\mathrm{Sp}(p)\subset \{0,1\}$.

Symétries. $s^2=\mathrm{id}$ signifie que $X^2-1=(X-1)(X+1)$ annule $s$ : scindé à racines simples, donc $s$ est diagonalisable, et $\mathrm{Sp}(s)\subset \{1,-1\}$ par le même argument.

Pourquoi une inclusion et non une égalité. Un polynôme annulateur ne fournit que des valeurs propres possibles : $p=0$ a pour spectre $\{0\}$, $p=\mathrm{id}$ a pour spectre $\{1\}$, et $s=\mathrm{id}$ a pour spectre $\{1\}$.

On retrouve la décomposition du chapitre 1 : $E=\ker p\oplus \ker (p-\mathrm{id})=\ker p\oplus \mathrm{Im}p$ et $E=\ker (s-\mathrm{id})\oplus \ker (s+\mathrm{id})$, qui sont exactement les décompositions en sous-espaces propres.