Vérifier le théorème de Cayley-Hamilton en dimension 2 par le calcul…

On calcule les deux termes : $$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+bc& ab+bd\\ ca+dc& cb+d^2\end{array}\right),\mathrm{tr}(A)A=(a+d)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+ad& ab+bd\\ ac+cd& ad+d^2\end{array}\right).$$ Les termes hors diagonale coïncident, et sur la diagonale il reste $bc-ad$ : $$A^2-\mathrm{tr}(A)A=\left(\begin{array}{cc}bc-ad& 0\\ 0& bc-ad\end{array}\right)=-\det (A)I_2.$$ Donc $A^2-\mathrm{tr}(A)A+\det (A)I_2=0$.

C'est bien le théorème de Cayley-Hamilton en dimension $2$, puisque $${\chi }_A(X)=\det (X{I}_2-A)=(X-a)(X-d)-bc=X^2-(a+d)X+(ad-bc)=X^2-\mathrm{tr}(A)X+\det (A),$$ et l'identité obtenue s'écrit ${\chi }_A(A)=0$.

Application immédiate. Si $\det A\ne 0$, on en tire $A(\mathrm{tr}(A)I_2-A)=\det (A)I_2$, donc $A^{-1}=\frac{1}{\det A}(\mathrm{tr}(A)I_2-A)$ : on retrouve la formule de l'inverse d'une matrice $2\times 2$.