Décomposition Polaire

1. Analyse et Existence : Supposons que $M=OS$ avec $O\in O_n(\mathbb{R})$ et $S\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$. Alors $M^{\top }M=(OS{)}^{\top }(OS)=S^{\top }{O}^{\top }OS=S{I}_{n}S=S^2$. Comme $M\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$, la matrice $A=M^{\top }M$ est symétrique définie positive ($\forall X\ne 0,X^{\top }AX=\Vert MX{\Vert }^2>0$). D'après l'exercice 2.1, il existe une unique racine carrée symétrique définie positive $S=\sqrt{M^{\top }M}\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$. Comme $S\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$, $S$ est inversible. On pose alors : $$O=M{S}^{-1}.$$ Vérifions que $O\in O_n(\mathbb{R})$ : $$O^{\top }O=(S^{-1}{)}^{\top }{M}^{\top }M{S}^{-1}=S^{-1}(S^2)S^{-1}=S^{-1}S=I_n.$$ Donc $O$ est bien une matrice orthogonale, ce qui établit l'existence.

2. Unicité : Si $M=OS=O_1{S}_1$ avec $O,O_1\in O_n(\mathbb{R})$ et $S,S_1\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$, alors $S^2=M^{\top }M=S_1^2$. Par unicité de la racine carrée symétrique définie positive, $S=S_1$. Puis comme $S$ est inversible, $O=M{S}^{-1}=M{S}_1^{-1}=O_1$.