Déterminer tous les triplets … pour lesquels la matrice … est orthogonale, et…

Condition d'orthogonalité. $M$ est orthogonale si et seulement si ses lignes forment une base orthonormée de $R^{3}$ . Notons $r_{1} = \frac{1}{3} (1, 2, 2)$ , $r_{2} = \frac{1}{3} (2, 1, - 2)$ et $r_{3} = \frac{1}{3} (a, b, c)$ . Les deux premières lignes conviennent déjà : $∥ r_{1} ∥^{2} = \frac{1 + 4 + 4}{9} = 1, ∥ r_{2} ∥^{2} = \frac{4 + 1 + 4}{9} = 1, ⟨ r_{1}, r_{2} ⟩ = \frac{2 + 2 - 4}{9} = 0.$ Il faut et il suffit que $r_{3}$ soit unitaire et orthogonal à $r_{1}$ et à $r_{2}$ , c'est-à-dire que $r_{3}$ soit un vecteur unitaire de la droite $Vect (r_{1}, r_{2})^{⊥}$ . Cette droite est dirigée par le produit vectoriel $r_{1} \land r_{2} = \frac{1}{9} (2 \cdot (- 2) - 2 \cdot 1, 2 \cdot 2 - 1 \cdot (- 2), 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = \frac{1}{9} (- 6, 6, - 3) = \frac{1}{3} (- 2, 2, - 1),$ qui est déjà unitaire. Les seuls choix possibles sont $r_{3} = \pm r_{1} \land r_{2}$ , soit exactement deux solutions : $(a, b, c) = (- 2, 2, - 1) ou (a, b, c) = (2, - 2, 1) .$

Directe ou indirecte. Le déterminant de $M$ est le produit mixte de ses lignes : $det M = [r_{1}, r_{2}, r_{3}] = ⟨ r_{1} \land r_{2}, r_{3} ⟩$ .

Si $r_{3} = r_{1} \land r_{2}$ , $det M = ∥ r_{1} \land r_{2} ∥^{2} = 1$ : $M \in SO_{3} (R)$ , elle est directe.
Si $r_{3} = - r_{1} \land r_{2}$ , $det M = - 1$ : $M$ est indirecte.

Contrôle : pour $(a, b, c) = (- 2, 2, - 1)$ , on vérifie directement que $M M^{⊤} = I_{3}$ et que $det M = 1$ .

Énoncé

Corrigé

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