Deux réflexions composées font une rotation

Stratégie : tout tient dans un produit de deux matrices $2\times 2$. Le cours décrit toute isométrie indirecte du plan sous la forme $$S(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right),$$ et l'exercice résolu 4 a identifié $S(\theta )$ comme la réflexion d'axe la droite d'angle polaire $\frac{\theta }{2}$. L'angle $\alpha$ entre les deux axes est donc $\frac{{\theta }^{\prime }-\theta }{2}$, et il ne reste qu'à calculer $S({\theta }^{\prime })S(\theta )$ : la formule $R(2\alpha )$ tombera d'elle-même.

Étape 1 — l'axe de $S(\theta )$, redémontré. Posons $v=(\cos \frac{\theta }{2},\sin \frac{\theta }{2})$, vecteur unitaire dirigeant $D_{\theta /2}$, et $w=(-\sin \frac{\theta }{2},\cos \frac{\theta }{2})$, unitaire et orthogonal à $v$. Alors $$S(\theta )v=\left(\begin{array}{c}\cos \theta \cos \frac{\theta }{2}+\sin \theta \sin \frac{\theta }{2}\\ \sin \theta \cos \frac{\theta }{2}-\cos \theta \sin \frac{\theta }{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos \left(\theta -\frac{\theta }{2}\right)\\ \sin \left(\theta -\frac{\theta }{2}\right)\end{array}\right)=v,$$ par les formules d'addition de $\cos$ et $\sin$ (première année). Le même calcul sur $w$ donne $$S(\theta )w=\left(\begin{array}{c}-\cos \theta \sin \frac{\theta }{2}+\sin \theta \cos \frac{\theta }{2}\\ -\sin \theta \sin \frac{\theta }{2}-\cos \theta \cos \frac{\theta }{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\sin \frac{\theta }{2}\\ -\cos \frac{\theta }{2}\end{array}\right)=-w.$$ Dans la base orthonormale $(v,w)$, la matrice de $S(\theta )$ est donc $\mathrm{diag}(1,-1)$ : $S(\theta )$ est bien la réflexion d'axe $D_{\theta /2}$, et l'on retrouve au passage $S(\theta {)}^2=I_2$ (une réflexion est une involution).

Étape 2 — le produit. Notons $s$ la réflexion de matrice $S(\theta )$ et $s^{\prime }$ celle de matrice $S({\theta }^{\prime })$. On calcule $s^{\prime }\circ s$, c'est-à-dire $S({\theta }^{\prime })S(\theta )$ : $$S({\theta }^{\prime })S(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos {\theta }^{\prime }& \sin {\theta }^{\prime }\\ \sin {\theta }^{\prime }& -\cos {\theta }^{\prime }\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right).$$ Coefficient par coefficient :

• en $(1,1)$ : $\cos {\theta }^{\prime }\cos \theta +\sin {\theta }^{\prime }\sin \theta =\cos ({\theta }^{\prime }-\theta )$ ;
• en $(1,2)$ : $\cos {\theta }^{\prime }\sin \theta -\sin {\theta }^{\prime }\cos \theta =-\sin ({\theta }^{\prime }-\theta )$ ;
• en $(2,1)$ : $\sin {\theta }^{\prime }\cos \theta -\cos {\theta }^{\prime }\sin \theta =\sin ({\theta }^{\prime }-\theta )$ ;
• en $(2,2)$ : $\sin {\theta }^{\prime }\sin \theta +\cos {\theta }^{\prime }\cos \theta =\cos ({\theta }^{\prime }-\theta )$.

D'où $$\boxed{S({\theta }^{\prime })S(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos ({\theta }^{\prime }-\theta )& -\sin ({\theta }^{\prime }-\theta )\\ \sin ({\theta }^{\prime }-\theta )& \cos ({\theta }^{\prime }-\theta )\end{array}\right)=R({\theta }^{\prime }-\theta ).}$$ Le déterminant confirme le résultat sans calcul : $\det (S({\theta }^{\prime })S(\theta ))=(-1)\times (-1)=+1$, donc le composé est directe, donc une rotation (classification en dimension 2) ; il ne restait qu'à en lire l'angle.

Étape 3 — lecture géométrique : l'angle vaut $2\alpha$. Les axes sont $D_{\theta /2}$ et $D_{{\theta }^{\prime }/2}$, et l'angle orienté $\alpha$ du premier axe vers le second vaut $$\alpha =\frac{{\theta }^{\prime }}{2}-\frac{\theta }{2}=\frac{{\theta }^{\prime }-\theta }{2},\text{donc}{\theta }^{\prime }-\theta =2\alpha .$$ Le composé $s^{\prime }\circ s$ est donc la rotation d'angle $2\alpha$, deux fois l'angle des axes.

Le point délicat, et il vaut d'être nommé. Un angle de droites n'est défini que modulo $\pi$ : remplacer $v$ par $-v$ ne change pas l'axe. Ici cela n'abîme rien, au contraire : $\alpha$ est défini modulo $\pi$, donc $2\alpha$ est défini modulo $2\pi$ — exactement la précision dont on a besoin pour un angle de rotation, ni plus ni moins. C'est ce doublement qui rend l'énoncé cohérent.

Étape 4 — l'ordre compte. En échangeant les rôles, le même calcul donne $S(\theta )S({\theta }^{\prime })=R(\theta -{\theta }^{\prime })=R(-2\alpha )$ : composer les deux réflexions dans l'autre ordre produit la rotation inverse. Deux réflexions distinctes ne commutent donc que si $R(2\alpha )=R(-2\alpha )$, soit $R(4\alpha )=I_2$, soit $2\alpha \equiv 0[\pi ]$ : axes confondus, ou axes perpendiculaires (et le composé est alors $R(\pi )=-I_2$ dans les deux ordres).

Étape 5 — la réciproque : toute rotation est produit de deux réflexions. Soit $R(\phi )$ une rotation quelconque. Choisissons $\theta$ arbitrairement et posons ${\theta }^{\prime }=\theta +\phi$ : l'étape 2 donne aussitôt $$S(\theta +\phi )S(\theta )=R(\phi ).$$ La décomposition existe donc toujours, et elle n'est pas unique — il reste un degré de liberté, le choix du premier axe. On peut par exemple imposer que la première réflexion soit celle d'axe $\mathbb{R}{e}_1$ ($\theta =0$) : $R(\phi )=S(\phi )S(0)$.

Contrôle chiffré. Prenons $\theta =\frac{\pi }{6}$ (axe à $\frac{\pi }{12}=15^{\circ }$) et ${\theta }^{\prime }=\frac{\pi }{2}$ (axe à $\frac{\pi }{4}=45^{\circ }$), d'où $\alpha =45^{\circ }-15^{\circ }=30^{\circ }$. Alors $$S\left(\frac{\pi }{2}\right)S\left(\frac{\pi }{6}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)=R\left(\frac{\pi }{3}\right),$$ et $\frac{\pi }{3}=60^{\circ }=2\times 30^{\circ }=2\alpha$. Dans l'autre ordre on obtient $\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)=R\left(-\frac{\pi }{3}\right)$, conformément à l'étape 4.

Ce qui est acquis. Les réflexions engendrent ${\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$ : les produits de deux réflexions sont exactement les rotations, les produits d'une seule sont exactement les isométries indirectes, et il n'y a rien d'autre. C'est le premier exemple de la méthode générale — décomposer une isométrie en réflexions — et c'est aussi pourquoi $S(\theta )$ et $R(\theta )$ suffisent à décrire tout ${\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$.